Question Number 102292 by Boykisss last updated on 08/Jul/20
Answered by Rio Michael last updated on 09/Jul/20
$$\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}\:+\:{kx}}}\:=\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.}} \left(\mathrm{1}\:+\:{kx}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left[\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−{x}\right)+\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}!}\left(−{x}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:…\right]\left[\mathrm{1}\:+\:\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left({kx}\right)+\:\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}}\left({kx}\right)^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{x}^{\mathrm{2}} +…\right]\left[\mathrm{1}−\frac{{kx}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}+…\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}\:−\frac{{kx}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:−\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{{kx}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{neglecting}\:\mathrm{higher}\:\mathrm{powers}\:\mathrm{of}\:{x}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}\:+\:\left(−\frac{{k}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){x}\:+\:\left(\frac{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:+\:\frac{{k}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right){x}^{\mathrm{2}} +… \\ $$$$\Rightarrow\:−\frac{{k}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\:\:\frac{{k}+\:\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{2}\:\:\Leftrightarrow\:{k}=\:\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{if}\:\mathrm{all}\:\mathrm{have}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{chances}\:\mathrm{then}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:=\:^{\mathrm{10}} {C}_{\mathrm{4}} \:\mathrm{ways} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{if}\:\mathrm{two}\:\mathrm{are}\:\mathrm{married}\:\mathrm{and}\:\mathrm{will}\:\mathrm{not}\:\mathrm{attend}\:\mathrm{seperately},\:\mathrm{then}\:\mathrm{they}\:\mathrm{must} \\ $$$$\mathrm{attend}\:\mathrm{together}\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{two}\:\mathrm{more}\:\mathrm{friends}\:=^{\mathrm{8}} {C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right)\:\mathrm{two}\:\mathrm{are}\:\mathrm{not}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{say}\:{A}\:\mathrm{and}\:{B}\:\mathrm{are}\:\mathrm{not}\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{if}\:\:{A}\:\mathrm{attends}\:\mathrm{then}\:\mathrm{B}\:\mathrm{doesnot}:\:\mathrm{therefore}\:^{\mathrm{8}} {C}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{if}\:{B}\mathrm{attends}\:\mathrm{then}{A}\:\mathrm{doesnot}:\:\mathrm{therefore}\:^{\mathrm{8}} {C}_{\mathrm{3}} \\ $$