Question Number 103644 by dw last updated on 16/Jul/20
Commented by dw last updated on 16/Jul/20
$$\left[{Trigonometric}\:{Substit}.\right] \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 16/Jul/20
$$\mathrm{putting}\:\mathrm{x}=\mathrm{cos}\varphi\left(\varphi\in\left[\mathrm{0},\pi\right]\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\frac{\mathrm{5cos}\varphi}{\mathrm{sin}\varphi}−\mathrm{6cos}\varphi\mathrm{sin}\varphi=\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{5cos}\varphi−\mathrm{6cos}\varphi\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \varphi=\mathrm{2sin}\varphi \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{tan}\frac{\varphi}{\mathrm{2}}=\mathrm{t}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{6}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{4t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{5}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{24}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \right)=\mathrm{4t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\mathrm{5t}^{\mathrm{6}} −\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}−\mathrm{24t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{24t}^{\mathrm{4}} =\mathrm{4t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{8t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4t} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{5t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4t}^{\mathrm{5}} −\mathrm{19t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{8t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{19t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4t}−\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{5}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{19}\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)+\mathrm{8}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)=\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{5y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}−\mathrm{4y}+\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{5y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4y}+\mathrm{16}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{5y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6y}+\mathrm{8}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{because}\:\mathrm{5y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6y}+\mathrm{8}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2y}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{4}}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}=−\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}=−\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2t}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{t}=−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{t}=−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{cos}\varphi=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{t}=−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{cos}\varphi=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\left.\mathrm{2}\right)}\right.}=\frac{−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Thus}}\:,\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right\} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{second}}\:\boldsymbol{\mathrm{way}}: \\ $$$$\frac{\mathrm{5x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}+\mathrm{6x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}\Leftrightarrow\mathrm{5x}−\mathrm{6x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{36x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{12x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{y}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{36y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{12y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5y}−\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{18y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}+\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2y}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\mathrm{because}\:\mathrm{18y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}+\mathrm{4}=\mathrm{17y}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by maths mind last updated on 16/Jul/20
$$\mathrm{5}−\mathrm{6}{sin}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\mathrm{2}{tg}\left({x}\right)… \\ $$$${verry}\:{nice}\:\:{we}\:{can}\:{use}\:{may}\:{bee}\:{this} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5}−\frac{\mathrm{6}{tg}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)}{\mathrm{1}+{tg}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)}=\mathrm{2}{tg}\left({x}\right) \\ $$$${t}={tg}\left({x}\right) \\ $$$$\mathrm{5}−\mathrm{6}\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}{t} \\ $$$$\mathrm{5}−{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{t}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{1}\:{evidente}\:{solution}\: \\ $$$$\Leftrightarrow\left({t}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{t}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$