Question Number 106488 by Algoritm last updated on 05/Aug/20
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 05/Aug/20
$$\:{Q}\mathrm{106379} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}.\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}}+…..=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$
Answered by abdomsup last updated on 05/Aug/20
$${S}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{10}^{{n}} }\:+\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$${we}\:{have}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\: \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}}\:=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{9}} \\ $$$${also}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{nx}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {nx}^{{n}} \:=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}−\mathrm{1}\:} =\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{1}\right){x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{−{x}−\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}+{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{n}^{\mathrm{2}} {x}^{{n}} \:=\frac{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} }\:=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{3}} }\:=… \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {n}^{\mathrm{3}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{6}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{n}^{\mathrm{3}} \:{x}^{{n}} \:=\frac{{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \:+{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty\:} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{10}^{{n}} }\:=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{4}} }=… \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 05/Aug/20
$$\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{10}^{{n}} }+\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} }+\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}}{\mathrm{10}^{{n}} } \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}}{\mathrm{10}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+…={S} \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+…. \\ $$$$\frac{\mathrm{9}{S}}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+… \\ $$$$\frac{\mathrm{9}{S}}{\mathrm{10}}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{81}} \\ $$$$\mathrm{2}\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+….={S}' \\ $$$$\frac{{S}'}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}^{\mathrm{4}} }+… \\ $$$$\frac{\mathrm{9}{S}'}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+… \\ $$$$\frac{\mathrm{9}{S}^{'} }{\mathrm{100}}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+… \\ $$$$……{subtracting} \\ $$$$\frac{\mathrm{9}{S}'}{\mathrm{10}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+…..\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{81}{S}'}{\mathrm{100}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}} \\ $$$${S}'=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{9}}.\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{81}}=\frac{\mathrm{110}}{\mathrm{729}} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\left(\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{10}^{{n}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{10}^{\mathrm{3}} }+…={S}_{{n}} \\ $$$${S}_{{n}} +\mathrm{2}{S}'+{S}=\overset{\infty} {\sum}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{10}^{{n}} }+\frac{\mathrm{220}}{\mathrm{729}}+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{81}}=\frac{\mathrm{1400}}{\mathrm{2187}} \\ $$
Answered by JDamian last updated on 06/Aug/20
$${S}\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\Sigma}}\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{10}^{{k}} } \\ $$$${f}\:\equiv\:{f}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${D}\:\equiv\:\frac{{d}}{{dx}} \\ $$$${Df}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} {Df}\:=\:\mathrm{1}\centerdot{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:=\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${D}\left({x}^{\mathrm{2}} {Df}\right)\:=\:\mathrm{1}\centerdot\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\:\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${xD}\left({x}^{\mathrm{2}} {Df}\right)\:=\:\mathrm{1}\centerdot\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\:\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${g}\equiv{D}\left({xD}\left({x}^{\mathrm{2}} {Df}\right)\right)\:=\:\mathrm{1}\centerdot\mathrm{2}^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} + \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{3}\centerdot\mathrm{4}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}\centerdot\mathrm{5}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{4}} +\:\centerdot\centerdot\centerdot\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}\frac{\left(\mathrm{2}+{x}\right){x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:\:\:\:\:\:\:\:\forall\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${g}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)=\mathrm{2}\frac{\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}}{\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{4}} }=\mathrm{2}\frac{\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{100}}}{\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{9}^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{4200}}{\mathrm{6561}} \\ $$