Menu Close

Question-107461

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 107461 by Don08q last updated on 10/Aug/20
Commented by john santu last updated on 11/Aug/20
(iii) y=x^3 +(k+2)x^2 −3kx+5 ⇒y′=3x^2 +2(k+2)x−3k ⇒Δ= 4(k+2)^2 −4.3.(−3k)=0 ⇒(k+2)^2 +9k=0 ⇒k^2 +13k+4=0 k = ((−13 ±(√(169−4.1.4)))/2)=((−13±(√(153)))/2) k=((−13 ± 3(√(17)))/2) .
$$\left({iii}\right)\:{y}={x}^{\mathrm{3}} +\left({k}+\mathrm{2}\right){x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{kx}+\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({k}+\mathrm{2}\right){x}−\mathrm{3}{k} \\ $$$$\Rightarrow\Delta=\:\mathrm{4}\left({k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{3}.\left(−\mathrm{3}{k}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{k}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13}{k}+\mathrm{4}=\mathrm{0}\: \\ $$$${k}\:=\:\frac{−\mathrm{13}\:\pm\sqrt{\mathrm{169}−\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{13}\pm\sqrt{\mathrm{153}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${k}=\frac{−\mathrm{13}\:\pm\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:. \\ $$
Answered by john santu last updated on 11/Aug/20
⋇JS⋇ ⇒y=ax^3 +bx^2 +cx+d ⇒has a vertex if y′=0 ⇒y′ = 3ax^2 +2bx+c = 0 ⇒x = ((−2b ± (√(4b^2 −4.3a.c)))/(6a)) x = ((−2b±2(√(b^2 −3ac)))/(6a))=((−b±(√(b^2 −3ac)))/(3a))
$$\:\:\:\:\:\:\:\divideontimes\mathcal{JS}\divideontimes \\ $$$$\Rightarrow{y}={ax}^{\mathrm{3}} +{bx}^{\mathrm{2}} +{cx}+{d}\:\Rightarrow{has}\:{a} \\ $$$${vertex}\:{if}\:{y}'=\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow{y}'\:=\:\mathrm{3}{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{bx}+{c}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}\:=\:\frac{−\mathrm{2}{b}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{3}{a}.{c}}}{\mathrm{6}{a}} \\ $$$${x}\:=\:\frac{−\mathrm{2}{b}\pm\mathrm{2}\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{ac}}}{\mathrm{6}{a}}=\frac{−{b}\pm\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{ac}}}{\mathrm{3}{a}} \\ $$
Commented by john santu last updated on 11/Aug/20
(ii) no vertex if b^2 −3ac < 0 ⇒(b−(√(3ac)))(b+(√(3ac))) < 0 ⇒ −(√(3ac)) < b < (√(3ac))
$$\left({ii}\right)\:{no}\:{vertex}\:{if}\:{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{ac}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({b}−\sqrt{\mathrm{3}{ac}}\right)\left({b}+\sqrt{\mathrm{3}{ac}}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:−\sqrt{\mathrm{3}{ac}}\:<\:{b}\:<\:\sqrt{\mathrm{3}{ac}}\: \\ $$
Commented by Don08q last updated on 11/Aug/20
Thank you Sir
$${Thank}\:{you}\:{Sir} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 11/Aug/20
We need to have the hypothesis that a,b≠0.Then denote by C the graph of y=ax^3 +bx^2 +cx+d.We have y′=3ax^2 +2bx+c=0⇔x_(1,2) =((−b±(√(b^2 −3ac)))/(3a)) y′′=6ax+2b=0⇔x_0 =−b/3a i)if Δ=b^2 −3ac>0 the eqn.y′=0 has two real roots and y′ change the sign when passes through its roots ,so the curve C has two extremums points(vertexes) ii)If b^2 −3ac=0 then x_0 =x_1 =x_2 =−b/3a. Then the given function has no extremum (vertex) because y′don′t change the sign when go through x_0 .Hence,the condition need and enough for the curve of degree 3 has a saddle point be Δ=b^2 −3ac=0 iii)The curve y=x^3 +(k+2)x^2 −3kx+5(C_k ) has the saddle point if and only if y′=3x^2 +2(k+2)x−3k=0 has unique root ⇔Δ′=(k+2)^2 +9k=0⇔k^2 +13k+4=0 ⇔k_(1,2) =((−13±3(√(17)))/2).Then x_0 =((−(k+2))/3) +)for k_1 =((−13+3(√(17)))/2)⇒x_0 =−((−9+3(√(17)))/6) +)For k_2 =((−13−3(√(17)))/2)⇒x_0 =((9+3(√(17)))/6) Thus,C_k has the saddle point if and only if k=((−13±3(√(17)))/2)
$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{a},\mathrm{b}\neq\mathrm{0}.\mathrm{Then}\:\mathrm{denote}\:\mathrm{by}\:\mathrm{C}\:\mathrm{the}\:\mathrm{graph}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{d}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{y}'=\mathrm{3ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bx}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}\pm\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ac}}}{\mathrm{3a}} \\ $$$$\mathrm{y}''=\mathrm{6ax}+\mathrm{2b}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =−\mathrm{b}/\mathrm{3a} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{if}\:\Delta=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ac}>\mathrm{0}\:\mathrm{the}\:\mathrm{eqn}.\mathrm{y}'=\mathrm{0}\:\mathrm{has}\: \\ $$$$\mathrm{two}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}'\:\mathrm{change}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sign}\:\mathrm{when} \\ $$$$\mathrm{passes}\:\mathrm{through}\:\mathrm{its}\:\mathrm{roots}\:,\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve} \\ $$$$\mathrm{C}\:\mathrm{has}\:\mathrm{two}\:\:\mathrm{extremums}\:\mathrm{points}\left(\mathrm{vertexes}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ac}=\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{b}/\mathrm{3a}. \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{given}\:\mathrm{function}\:\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\:\mathrm{extremum} \\ $$$$\left(\mathrm{vertex}\right)\:\mathrm{because}\:\mathrm{y}'\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{change}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{sign}\:\mathrm{when}\:\mathrm{go}\:\mathrm{through}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} .\mathrm{Hence},\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{condition}\:\mathrm{need}\:\mathrm{and}\:\mathrm{enough}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{degree}\:\mathrm{3}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{saddle}\:\mathrm{point}\:\mathrm{be}\: \\ $$$$\Delta=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3ac}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{The}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3kx}+\mathrm{5}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{saddle}\:\mathrm{point}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\: \\ $$$$\mathrm{y}'=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}−\mathrm{3k}=\mathrm{0}\:\mathrm{has}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{root} \\ $$$$\Leftrightarrow\Delta'=\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{9k}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13k}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{k}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{13}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}.\mathrm{Then}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\frac{−\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.+\right)\mathrm{for}\:\mathrm{k}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{13}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =−\frac{−\mathrm{9}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\left.+\right)\mathrm{For}\:\mathrm{k}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{13}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{9}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{saddle}\:\mathrm{point}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{13}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Don08q last updated on 11/Aug/20
Comprehensive explanation. Thank you
$${Comprehensive}\:{explanation}.\:{Thank}\:{you} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *