Question Number 108016 by mathdave last updated on 13/Aug/20
Answered by mr W last updated on 13/Aug/20
$$\theta=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} {x}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\leqslant\theta\leqslant\pi\:\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{3}\theta\leqslant\mathrm{3}\pi \\ $$$$\mathrm{cos}\:\theta={x} \\ $$$$\phi=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \mathrm{2}{x}\:\Rightarrow−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\leqslant\phi\leqslant\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow−\pi\leqslant\mathrm{2}\phi\leqslant\pi \\ $$$$\mathrm{sin}\:\phi=\mathrm{2}{x}=\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\theta \\ $$$$\mathrm{2}\phi=\mathrm{3}\theta\:\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{3}\theta\leqslant\pi\:\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{cos}\:\theta\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}\phi\right)=\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{3}\theta\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\phi=\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:\theta−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\theta \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{8}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta=\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:\theta−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\theta \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:\theta+\mathrm{8}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\theta−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\theta−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta+\mathrm{5}\:\mathrm{cos}\:\theta+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\theta=\frac{−\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${since}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{cos}\:\theta\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{cos}\:\theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{only}\:{one}\:{solution} \\ $$