Question Number 108415 by mathdave last updated on 16/Aug/20
Commented by bobhans last updated on 17/Aug/20
$$\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{4}\right)}\:=\:\frac{{p}}{{n}}+\frac{{q}}{{n}+\mathrm{2}}+\frac{{r}}{{n}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1}={p}\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{4}\right)+{qn}\left({n}+\mathrm{4}\right)+{rn}\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$${n}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{8}{p}\rightarrow{p}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${n}=−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{1}=−\mathrm{4}{q}\rightarrow{q}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${n}=−\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{8}{r}\rightarrow{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({n}+\mathrm{2}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left({n}+\mathrm{4}\right)}\:=\:{I}+{J}+{H} \\ $$$${H}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\underset{{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\left(\ast\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{3}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{6}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\ast\ast\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\underset{{n}=\mathrm{6}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$ \\ $$