Question Number 110285 by mathdave last updated on 28/Aug/20
Answered by 1549442205PVT last updated on 29/Aug/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} = \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{8x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{16x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{d}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{7}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{c}+\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{2a}+\mathrm{c}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2b}+\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2cx}+\mathrm{2d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{c}_{\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \left(−\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{2a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{2b}_{\mathrm{1}} −\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2c}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{2d}_{\mathrm{1}} \right.}{\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{1}\right)}\\{\left(\mathrm{b}+\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{2}\right)}\\{\left(\mathrm{a}−\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{c}+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} =\mathrm{8}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\left(\mathrm{b}−\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \right)\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{d}+\mathrm{d}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\:\left(\mathrm{4}\right)}\\{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)+\left(\mathrm{c}−\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \right)\sqrt{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\left(\mathrm{5}\right)}\\{\left(\mathrm{d}−\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{b}+\mathrm{b}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0}\left(\mathrm{6}\right)}\\{\mathrm{2}\left(\mathrm{c}+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \right)=−\mathrm{16}\left(\mathrm{7}\right)}\\{\mathrm{d}+\mathrm{d}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\:\left(\mathrm{8}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{c}_{\mathrm{1}} ;\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{7}\right)\Leftrightarrow\mathrm{a}=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:,\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{6}\right)\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{c}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{4},\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{8}\right)\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{d}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Therefore} \\ $$$$\frac{\mathrm{8x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{16x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+\frac{−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{8x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{16x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{4}}\mathrm{dx}=\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dx}−\sqrt{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{4}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dx}+ \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\int\:\frac{\left.\mathrm{dx}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\mid−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\mid \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\mid\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} −\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mid \\ $$