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Question-110286

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Question Number 110286 by mathdave last updated on 28/Aug/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Aug/20
f(a) =ln(a)∫ ((a^(3x) −1)/(a^(2x) +1))dx changement a^x =t give e^(xln(a)) =t ⇒ xln(a) =ln(t) ⇒x =((ln(t))/(lna)) ⇒f(a) =ln(a)∫ ((t^3 −1)/(t^2 +1))(dt/(tln(a))) =∫ ((t^3 −1)/(t(t^2 +1)))dt =∫ ((t^3 −1)/(t^3 +t))dt =∫ ((t^3 +t−t−1)/(t^3 +t))dt =t−∫ ((t+1)/(t(t^2 +1)))dt let decompose F(t) =((t+1)/(t(t^2 +1))) =(a/t) +((bt+c)/(t^2 +1)) a =1 , lim_(t→+∞) tF(t) =0 =a+b ⇒b=−1 F(−1) =0 =−a +((−b+c)/2) =((−2a+1+c)/2) ⇒c =2a−1 =1 ⇒ F(t) =(1/t)+((−t+1)/(t^2 +1)) ⇒∫ F(t)dt =ln∣t∣−(1/2)ln(t^2 +1)−arctan(t) +C =ln∣(t/( (√(1+t^2 ))))∣ −arctan(t)+C ⇒ f(a) =a^x −ln∣(a^x /( (√(1+a^(2x) ))))∣ −arctan(a^x ) +C
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)\int\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3x}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \:=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\left(\mathrm{a}\right)} \:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{xln}\left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{lna}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\right)\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{tln}\left(\mathrm{a}\right)} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{t}−\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{t}−\int\:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\mathrm{1}\:\:,\:\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{F}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{0}\:=−\mathrm{a}\:+\frac{−\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\:=\frac{−\mathrm{2a}+\mathrm{1}+\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\mathrm{2a}−\mathrm{1}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\frac{−\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\mid\:−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{C}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} −\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2x}} }}\mid\:−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathdave last updated on 28/Aug/20
keep the spirit of mathematics moving
$${keep}\:{the}\:{spirit}\:{of}\:{mathematics}\:{moving} \\ $$

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