Question Number 111104 by Lordose last updated on 02/Sep/20
Commented by mathdave last updated on 02/Sep/20
$${the}\:{question}\:{is}\:{not}\:{integradable} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Sep/20
$$\int\left(−\mathrm{1}\right)^{{x}} {dx}=\int{e}^{{xlog}\left(−\mathrm{1}\right)} {dx}=\int{e}^{{i}\pi{x}} {dx}=\frac{\mathrm{1}}{{i}\pi}{e}^{{i}\pi{x}} +{C} \\ $$
Answered by abdomsup last updated on 02/Sep/20
$${this}\:{integral}\:{can}\:{be}\:{solved}… \\ $$
Commented by mathdave last updated on 02/Sep/20
$${then}\:{solve}\:{it}\:{since}\:{it}\:{is}\:{integradable}\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 03/Sep/20
$$\mathrm{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{let} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{4}\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\:\:\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi\:,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\:\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\:\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{ze}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\:\frac{\mathrm{2i}\pi\mathrm{z}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)−\mathrm{2e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\:\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \left\{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}\:\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)−\mathrm{1}\right\}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}} } \left\{\mathrm{i}\pi\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{1}\right\}\right.}{\left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{i}\pi\left\{−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right\}} \left\{−\pi\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right\}}{−\mathrm{8i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\pi\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right\}} \left\{\pi\sqrt{\mathrm{3}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right\}\right.}{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:×\:\left(−\mathrm{i}\right)\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\:+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right\}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\pi\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3i}\pi\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty\:} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left\{\pi\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3i}\pi\right\}\:=\mathrm{I} \\ $$