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Question-111432

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Question Number 111432 by ajfour last updated on 03/Sep/20
Commented by ajfour last updated on 03/Sep/20
Find perimeter of △OAB.
$${Find}\:{perimeter}\:{of}\:\bigtriangleup{OAB}. \\ $$
Commented by ajfour last updated on 04/Sep/20
mrW Sir, can you please confirm answer to this question?
$${mrW}\:{Sir},\:{can}\:{you}\:{please}\:{confirm} \\ $$$${answer}\:{to}\:{this}\:{question}? \\ $$
Answered by ajfour last updated on 04/Sep/20
Commented by ajfour last updated on 04/Sep/20
cos α=(1/(a+1)) sin β=(a/(a+1)) = 1−cos α =(b/(1+2a+b)) α+β=60° ⇒ sin β =(a/(a+1))= ((√3)/2)((1/(a+1)))−(1/2)(√(1−(1/((a+1)^2 )))) ⇒ 2a=(√3)−(√((a+1)^2 −1)) ⇒ 3+4a^2 −4(√3)a = a^2 +2a ⇒ 3a^2 −(4(√3)+2)a+3=0 ⇒ a=((2(√3)+1)/3)−((√((2(√3)+1)^2 −9))/3) ⇒ a=((2(√3)+1−2(√(1+(√3))))/3) ≈ 0.38611 1+(1/a)=1+((2a+1)/b) ⇒ b=a(2a+1)≈ 0.68425 .....
$$\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{1}}{{a}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\beta=\frac{{a}}{{a}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\alpha\:=\frac{{b}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{a}+{b}} \\ $$$$\alpha+\beta=\mathrm{60}° \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:\beta\:=\frac{{a}}{{a}+\mathrm{1}}=\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{a}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\mathrm{2}{a}=\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{3}+\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}{a}\:=\:{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{a} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right){a}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{a}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\sqrt{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{a}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{3}}\:\approx\:\mathrm{0}.\mathrm{38611} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}}{{b}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:{b}={a}\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\right)\approx\:\mathrm{0}.\mathrm{68425} \\ $$$$….. \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 05/Sep/20
(See the figure below) HJ=HQ=x;EP=EG=EF=y Denote by x the radius of the circle (B),by y −the radius of small circle Apply Steward′s theorem we have: (1+x)^2 (1+y)+2^2 (x+y)−(1+y)^2 (1+x+2y) =(1+x+2y)(1+y)(x+y) ⇔1+2x+x^2 +y+2xy+x^2 y+4x+4y−1 −2y−y^2 −x−2xy−xy^2 −2y−4y^2 −2y^3 =x+x^2 +4xy+x^2 y+3xy^2 +3y^2 +2y^3 ⇔4y^3 +8y^2 +4xy^2 +4xy−4x=0(1) Since NE//HQ,by Thalet′theorem we have:((NE)/(HQ))=((OE)/(OH))⇔(y/x)=((1+y)/(1+x+y)) ⇔x+xy=y+xy+y^2 ⇔x=2y^2 +y(2) Replace (2) into (1) we get: 4y^3 +8y^2 +4y^2 (2y^2 +y)−4y(2y^2 +y)=0 ⇔8y^4 +16y^3 +4y^2 −4y=0 ⇔2y^3 +4y^2 +y−1=0 ⇔(y+1)(2y^2 +2y−1)=0 ⇔2y^2 +2y−1=0 ;Δ′=1+2=3 ⇒y=((−1+(√3))/2).Replace into (2)we get x=(2y^2 +y)=2.((2−(√3))/2)+(((√3)−1)/2)=((3−(√3))/2) Thus,x=((3−(√3))/2)≈0.6339 y=(((√3)−1)/2)≈0.3660.Consequently,the perimeter of triangle OAB equal to 4+2x+2y=4+3−(√3)+(√3)−1=6
$$\left(\mathrm{See}\:\mathrm{the}\:\mathrm{figure}\:\mathrm{below}\right) \\ $$$$\mathrm{HJ}=\mathrm{HQ}=\mathrm{x};\mathrm{EP}=\mathrm{EG}=\mathrm{EF}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{Denote}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}\:\mathrm{the}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle} \\ $$$$\left(\mathrm{B}\right),\mathrm{by}\:\mathrm{y}\:−\mathrm{the}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{of}\:\mathrm{small}\:\mathrm{circle} \\ $$$$\mathrm{Apply}\:\mathrm{Steward}'\mathrm{s}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{2xy}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{4x}+\mathrm{4y}−\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{2y}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2xy}−\mathrm{xy}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}−\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4xy}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{3xy}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4xy}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4xy}−\mathrm{4x}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{NE}//\mathrm{HQ},\mathrm{by}\:\mathrm{Thalet}'\mathrm{theorem} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}:\frac{\mathrm{NE}}{\mathrm{HQ}}=\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OH}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{y}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}+\mathrm{xy}=\mathrm{y}+\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Replace}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{4y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\right)−\mathrm{4y}\left(\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{8y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{16y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:;\Delta'=\mathrm{1}+\mathrm{2}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}=\left(\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}\right)=\mathrm{2}.\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{0}.\mathrm{6339} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\approx\mathrm{0}.\mathrm{3660}.\mathrm{Consequently},\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{perimeter}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{OAB}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{4}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{4}+\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\mathrm{6} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20
Commented by ajfour last updated on 04/Sep/20
question is alright sir.
$${question}\:{is}\:{alright}\:{sir}. \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 05/Sep/20
Thank you ,Sir. I mistaked and corrected E is vertex of isosceles triangle.But my solution don′t use this hypothesis
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:,\mathrm{Sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{mistaked}\:\mathrm{and}\:\mathrm{corrected} \\ $$$$\mathrm{E}\:\mathrm{is}\:\mathrm{vertex}\:\mathrm{of}\:\mathrm{isosceles}\:\mathrm{triangle}.\mathrm{But} \\ $$$$\mathrm{my}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{hypothesis} \\ $$

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