Question Number 111975 by 175mohamed last updated on 05/Sep/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Sep/20
![f(0)=d=k f(−2)=0 ⇒−8a+4b−2c+d=0 (1) f(−4) =−16 ⇒−64a+16b−4c+d =−16 (2) f^′ (x)=3ax^2 +2bx +c ⇒f^((2)) (x)=6ax +2b f^((2)) (−2)=0 ⇒−12a+2b =0 ⇒−6a+b=0 ⇒b=6a (1)⇒−8a+24a−2c +d =0 ⇒16a−2c +d =0 (2)⇒−64a +96a−4c +d =−16 ⇒32a−4c +d =−16 ⇒ { ((16a−2c +d =0)),((16a−2c +(d/2)=−8 ⇒(d/2) =8 ⇒d =16 =k)) :} ⇒∫_(−16) ^k f^(−1) (x)dx =∫_(−16) ^(16) f^(−1) (x)dx changementf^(−1) (x)=t give x =f(t) ⇒ ∫_(−16) ^(16) f^(−1) (x)dx =∫_(f^(−1) (−16)) ^(f^(−1) (16)) t f^′ (t)dt =∫_(−4) ^0 t f^′ (t)dt =∫_(−4) ^0 t{3at^2 +2bt+c} dt =∫_(−4) ^0 (3at^3 +2bt^2 +ct)dt =∫_(−4) ^0 (3at^3 +12at^2 +ct)dt ( b=6a) we have 2c =16a +d =16a +16 ⇒c =8a+8 ⇒ ∫_(−16) ^(16) f^(−1) (x)dx =∫_(−4) ^0 (3at^3 +12at^2 +(8a+8)t)dt =[((3a)/4)t^4 +4at^3 +(4a+4)t^2 ]_(−4) ^0 =−(((3a)/4)(−4)^4 +4a(−4)^3 +(4a+4)(−4)^2 ) =−(3a(64) −256a +64a +64) =−64](https://www.tinkutara.com/question/Q112056.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{d}=\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{8a}+\mathrm{4b}−\mathrm{2c}+\mathrm{d}=\mathrm{0}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{4}\right)\:=−\mathrm{16}\:\Rightarrow−\mathrm{64a}+\mathrm{16b}−\mathrm{4c}+\mathrm{d}\:=−\mathrm{16}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bx}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{6ax}\:+\mathrm{2b} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{12a}+\mathrm{2b}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{6a}+\mathrm{b}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{6a} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow−\mathrm{8a}+\mathrm{24a}−\mathrm{2c}\:+\mathrm{d}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{16a}−\mathrm{2c}\:+\mathrm{d}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow−\mathrm{64a}\:+\mathrm{96a}−\mathrm{4c}\:+\mathrm{d}\:=−\mathrm{16}\:\Rightarrow\mathrm{32a}−\mathrm{4c}\:+\mathrm{d}\:=−\mathrm{16} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{16a}−\mathrm{2c}\:+\mathrm{d}\:=\mathrm{0}}\\{\mathrm{16a}−\mathrm{2c}\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{8}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{d}\:=\mathrm{16}\:=\mathrm{k}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\mathrm{16}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int_{−\mathrm{16}} ^{\mathrm{16}} \:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{changementf}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{t}\:\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\mathrm{16}} ^{\mathrm{16}} \:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{16}\right)} ^{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{16}\right)} \:\mathrm{t}\:\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{t}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{t}\left\{\mathrm{3at}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2bt}+\mathrm{c}\right\}\:\mathrm{dt}\:=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \:\left(\mathrm{3at}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2bt}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ct}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \left(\mathrm{3at}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{12at}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ct}\right)\mathrm{dt}\:\:\:\left(\:\:\:\:\mathrm{b}=\mathrm{6a}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\mathrm{2c}\:=\mathrm{16a}\:+\mathrm{d}\:=\mathrm{16a}\:+\mathrm{16}\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\mathrm{8a}+\mathrm{8}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\mathrm{16}} ^{\mathrm{16}} \:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \left(\mathrm{3at}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12at}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{8a}+\mathrm{8}\right)\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{3a}}{\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{4at}^{\mathrm{3}} \:+\left(\mathrm{4a}+\mathrm{4}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right]_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \:=−\left(\frac{\mathrm{3a}}{\mathrm{4}}\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{4a}+\mathrm{4}\right)\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=−\left(\mathrm{3a}\left(\mathrm{64}\right)\:−\mathrm{256a}\:\:+\mathrm{64a}\:+\mathrm{64}\right) \\ $$$$=−\mathrm{64} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$