Question Number 112465 by Aina Samuel Temidayo last updated on 08/Sep/20
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{3}\mid\mathrm{3}.\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{51}=\mathrm{3}\left(\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{17}\right)\:\left(\mathrm{clearly}\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{9}\mid\mathrm{3}.\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{51}\Leftrightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{17}\Leftrightarrow\mathrm{3}\mid\left(\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{17}\right)−\mathrm{18}=\mathrm{4}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}=\left(\mathrm{4}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{4}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +…+\mathrm{4}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{3k}\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{4}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{17}\Rightarrow\mathrm{9}\mid\mathrm{3}.\mathrm{4}^{\mathrm{n}} +\mathrm{51}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{Thanks}.\:\mathrm{It}'\mathrm{s}\:\mathrm{been}\:\mathrm{a}\:\mathrm{long}\:\mathrm{time}.\:\mathrm{Where} \\ $$$$\mathrm{have}\:\mathrm{you}\:\mathrm{been}? \\ $$
Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{i}\:\mathrm{just}\:\mathrm{not}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{app}\:\mathrm{so}\:\mathrm{often} \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 08/Sep/20
$$\mathrm{Ok}. \\ $$