Question Number 113587 by mohammad17 last updated on 14/Sep/20
Commented by mohammad17 last updated on 14/Sep/20
$${help}\:{me}\:{sir} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 14/Sep/20
![Q1 1)((2x+1)/(x+2))≤1⇔((2x+1)/(x+2))−1≤0⇔((x−1)/(x+2))≤0 ⇔x∈(−2;1] 2)(2y+1)^2 >9⇔4y^2 +4y−8>0 ⇔y^2 +y−2>0⇔(y−1)(y+2)>0 ⇔y∈(−∞;−2)∪(1;+∞) 3)∣3x−4∣>2(1) determinant ((x,,(4/3),),((∣3x−4∣),(4−3x),0,(3x−4)),((∣3x−4∣−2),(2−3x),(−2),(3x−6))) From above tablet we have two cases i) { ((x<4/3)),((2−3x>0)) :}⇔ { ((x<4/3)),((3x<2)) :}⇔ { ((x<4/3)),((x<2/3)) :}⇔x<2/3 ii) { ((x≥4/3)),((3x−6>0)) :}⇔ { ((x≥4/3)),((x>2)) :}⇔x>2 Combining two cases we get x∈(−∞;2/3)∪(2;+∞) 4)y^2 +2y−3>0⇔(y−1)(y+3)>0 ⇔y∈(−∞;−3)∪(1;+∞) Q2. 1)The equation of the line pass through the point (0;5) and (4;2) is ((y−5)/(x−0))=((2−5)/(4−0))=((−3)/4)⇒y=((−3)/4)x+5 The equation of the line pass through the point (0;−2) and (3;6) is ((y+2)/(x−0))=((6+2)/(3−0))=(8/3)⇒y=(8/3)x−2 The acute angle between two lines is θ then tanθ=∣((k_1 −k_2 )/(1+k_1 k_2 ))∣ (1) where k_1 =((−3)/4),k_2 =(8/3).Replace into (1) we get tanθ=∣(((8/3)+(3/4))/(1+(((−3)/4))(8/3)))∣=∣((41)/(−12))∣=((41)/(12)) ⇒θ≈73°41′ 2)The intersection point of two graphs of two functions y=1−x^2 and y=(√(1−x^2 )) is roots of the system { ((y=1−x^2 (1))),((y=(√(1−x^2 )) (2))) :} ⇒1−x^2 =(√(1−x^2 )) ⇔ { ((x^2 ≤1)),(((1−x^2 )^2 =(1−x^2 ))) :} ⇔ { ((∣x∣≤1(3))),((1−x^2 )[(1−x^2 )−1]=0(4))) :} i)1−x^2 =0⇔x^2 =1⇔x=±1⇒y=0 ii)1−x^2 −1=0⇔x^2 =0⇔x=0⇒y=1 Thus,two graphs have 3 intersecrion points are:A(1,0),B(−1,0),C(0,1) 3)Suppose P_1 (x_1 ,y_1 ),P_2 (x_2 ,y_2 ) and M is the midpoint of P_1 P_2 .Then OP_1 ^(→) =(x_1 ,y_1 ),OP_2 ^(→) =(x_2 ,y_2 )and We have OM^(→) =OP_1 ^(→) +P_1 M^(→) =OP_2 ^(→) +P_2 M^(→) ⇒OM^(→) =((OP_1 ^(→) +P_1 M^(→) +OP_2 ^(→) +P_2 M^(→) )/2) =((OP_1 ^(→) +OP_2 ^(→) )/2) (since P_1 M^(→) =−P_2 M^(→) ) Therefore,if denote M(x_M ,y_M )then OM^(→) =(x_M ,y_M ) and by adding rule for the vectors we get x_M =((x_1 +x_2 )/2),y_M =((y_1 +y_2 )/2).That shows that the point with coordintes (((x_1 +x_2 )/2),((y_1 +y_2 )/2)) is the midpoint of P_1 P_2 .Q3. A) a)F(x)=1−2x−x^2 The domain of F(x) is D_F =(−∞;+∞) Range:we have 1−2x−x^2 =2−(x+1)^2 ≤2 ⇒−∞<F(x)≤2.Hence,R_F =(−∞;2] b)y=(√(∣x∣)) D_y =(−∞;+∞).Since y=(√(∣x∣))≥0∀x R_y =[0;+∞) c)y=(√((1/x)−1)) . The domain:we need must have x≠0 (1/x)−1≥0⇔((1−x)/x)≥0⇔0<x≤1.Hence D_y =(0;1] Range:(√((1/x)−1)) ≥0∀x∈D_y ⇒R_y =[0;+∞) Hence,x is impossible (I)x<0 (II)x=0 (III)x>1 B)We need find the values x so that (x/2)>1+(4/x)⇔(x/2)−1−(4/x)⇔((x^2 −2x−8)/(2x))>0 (((x+2)(x−4))/(2x))o>0⇔x∈(−2;0)∪(4;+∞)](https://www.tinkutara.com/question/Q113645.png)
$$\mathrm{Q1} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{1}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left(−\mathrm{2};\mathrm{1}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} >\mathrm{9}\Leftrightarrow\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4y}−\mathrm{8}>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}−\mathrm{2}>\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}\in\left(−\infty;−\mathrm{2}\right)\cup\left(\mathrm{1};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid>\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{x}}&{}&{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}&{}\\{\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid}&{\mathrm{4}−\mathrm{3x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{3x}−\mathrm{4}}\\{\mid\mathrm{3x}−\mathrm{4}\mid−\mathrm{2}}&{\mathrm{2}−\mathrm{3x}}&{−\mathrm{2}}&{\mathrm{3x}−\mathrm{6}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{above}\:\mathrm{tablet}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{two}\:\mathrm{cases} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\begin{cases}{\mathrm{x}<\mathrm{4}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}−\mathrm{3x}>\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}<\mathrm{4}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{3x}<\mathrm{2}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}<\mathrm{4}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{x}<\mathrm{2}/\mathrm{3}}\end{cases}\Leftrightarrow\mathrm{x}<\mathrm{2}/\mathrm{3} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\begin{cases}{\mathrm{x}\geqslant\mathrm{4}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{3x}−\mathrm{6}>\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}\geqslant\mathrm{4}/\mathrm{3}}\\{\mathrm{x}>\mathrm{2}}\end{cases}\Leftrightarrow\mathrm{x}>\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\mathrm{two}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}\in\left(−\infty;\mathrm{2}/\mathrm{3}\right)\cup\left(\mathrm{2};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{3}>\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{y}\in\left(−\infty;−\mathrm{3}\right)\cup\left(\mathrm{1};+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{Q2}. \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{pass}\:\mathrm{through} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{0};\mathrm{5}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{4};\mathrm{2}\right)\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{y}−\mathrm{5}}{\mathrm{x}−\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{5}}{\mathrm{4}−\mathrm{0}}=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}+\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{pass}\:\mathrm{through} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{0};−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{3};\mathrm{6}\right)\:\mathrm{is} \\ $$$$\frac{\mathrm{y}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{6}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}−\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{acute}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{between}\:\mathrm{two}\:\mathrm{lines} \\ $$$$\mathrm{is}\:\theta\:\mathrm{then}\:\mathrm{tan}\theta=\mid\frac{\mathrm{k}_{\mathrm{1}} −\mathrm{k}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{k}_{\mathrm{1}} \mathrm{k}_{\mathrm{2}} }\mid\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{where}\: \\ $$$$\mathrm{k}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{4}},\mathrm{k}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{tan}\theta=\mid\frac{\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}{\mathrm{1}+\left(\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}}\mid=\mid\frac{\mathrm{41}}{−\mathrm{12}}\mid=\frac{\mathrm{41}}{\mathrm{12}} \\ $$$$\Rightarrow\theta\approx\mathrm{73}°\mathrm{41}' \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{The}\:\mathrm{intersection}\:\mathrm{point}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{graphs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{functions}\:\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{is}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\end{cases} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mid\mathrm{x}\mid\leqslant\mathrm{1}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\left.\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left[\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1}\right]=\mathrm{0}\left(\mathrm{4}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\pm\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{two}\:\mathrm{graphs}\:\mathrm{have}\:\mathrm{3}\:\mathrm{intersecrion} \\ $$$$\mathrm{points}\:\mathrm{are}:\mathrm{A}\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right),\mathrm{B}\left(−\mathrm{1},\mathrm{0}\right),\mathrm{C}\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{Suppose}\:\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right),\mathrm{P}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{midpoint}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \mathrm{P}_{\mathrm{2}} .\mathrm{Then} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{1}} }=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right),\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{OM}}=\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{1}} }+\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \mathrm{M}}=\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{2}} }+\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{2}} \mathrm{M}} \\ $$$$\Rightarrow\overset{\rightarrow} {\mathrm{OM}}=\frac{\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{1}} }+\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \mathrm{M}}+\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{2}} }+\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{2}} \mathrm{M}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{1}} }+\overset{\rightarrow} {\mathrm{OP}_{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\left(\mathrm{since}\:\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \mathrm{M}}=−\overset{\rightarrow} {\mathrm{P}_{\mathrm{2}} \mathrm{M}}\right) \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{if}\:\mathrm{denote}\:\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{M}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{M}} \right)\mathrm{then} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {\mathrm{OM}}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{M}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{M}} \right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{by}\:\mathrm{adding}\:\mathrm{rule} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{vectors}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{M}} =\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}},\mathrm{y}_{\mathrm{M}} =\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}.\boldsymbol{\mathrm{That}}\:\boldsymbol{\mathrm{shows}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{that}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{point}}\:\boldsymbol{\mathrm{with}}\:\boldsymbol{\mathrm{coordintes}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{is}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{midpoint}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \mathrm{P}_{\mathrm{2}} \\ $$$$.\mathrm{Q3}. \\ $$$$\left.\mathrm{A}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{domain}\:\mathrm{of}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{D}_{\mathrm{F}} =\left(−\infty;+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{Range}:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}−\mathrm{2x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\infty<\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{2}.\mathrm{Hence},\mathrm{R}_{\mathrm{F}} =\left(−\infty;\mathrm{2}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{y}=\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid} \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{y}} =\left(−\infty;+\infty\right).\mathrm{Since}\:\mathrm{y}=\sqrt{\mid\mathrm{x}\mid}\geqslant\mathrm{0}\forall\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{R}_{\mathrm{y}} =\left[\mathrm{0};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right)\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}\:. \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{domain}:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{0}<\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}.\mathrm{Hence} \\ $$$$\mathrm{D}_{\mathrm{y}} =\left(\mathrm{0};\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{Range}:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}\:\geqslant\mathrm{0}\forall\mathrm{x}\in\mathrm{D}_{\mathrm{y}} \Rightarrow\mathrm{R}_{\mathrm{y}} =\left[\mathrm{0};+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{x}\:\mathrm{is}\:\mathrm{impossible}\:\left(\mathrm{I}\right)\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{II}\right)\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{III}\right)\mathrm{x}>\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{B}\right)\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{x}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}>\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{8}}{\mathrm{2x}}>\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)}{\mathrm{2x}}\mathrm{o}>\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left(−\mathrm{2};\mathrm{0}\right)\cup\left(\mathrm{4};+\infty\right) \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 14/Sep/20
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 15/Sep/20
$$\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Sep/20
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}−\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\infty<{x}<\infty\:\:\:\:\:\:\left({Domain}\right) \\ $$$${Range}\:\mathrm{2}\leqslant{f}\left({x}\right)<−\infty \\ $$