Question Number 114130 by bemath last updated on 17/Sep/20
Commented by mr W last updated on 17/Sep/20
$${z}=\mathrm{2}: \\ $$$$\overline {{x}\mathrm{2}}×\overline {\mathrm{4}{y}\mathrm{2}}=\mathrm{7344} \\ $$$$\left(\mathrm{10}{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{400}+\mathrm{10}{y}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{7344} \\ $$$$\mathrm{4020}{x}+\mathrm{804}+\mathrm{100}{xy}+\mathrm{20}{y}=\mathrm{7344} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{120}{y}=\mathrm{2520} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\mathrm{21}>\mathrm{9}\:\Rightarrow{no}\:{solution} \\ $$$$ \\ $$$${z}=\mathrm{8}: \\ $$$$\overline {{x}\mathrm{8}}×\overline {\mathrm{4}{y}\mathrm{8}}=\mathrm{7344} \\ $$$$\left(\mathrm{10}{x}+\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{408}+\mathrm{10}{y}\right)=\mathrm{7344} \\ $$$$\mathrm{4080}{x}+\mathrm{100}{xy}+\mathrm{80}{y}+\mathrm{408}×\mathrm{8}=\mathrm{7344} \\ $$$$\mathrm{4080}{x}+\mathrm{100}{xy}+\mathrm{80}{y}=\mathrm{4080} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{180}{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1},\:{y}=\mathrm{0},\:{z}=\mathrm{8} \\ $$$${x}+{y}+{z}=\mathrm{9} \\ $$$$ \\ $$$${check}: \\ $$$$\mathrm{18}×\mathrm{408}=\mathrm{7344} \\ $$
Commented by bemath last updated on 17/Sep/20
$${thank}\:{you}\:{prof} \\ $$
Commented by mr W last updated on 17/Sep/20
$${santuyy}! \\ $$
Commented by bemath last updated on 17/Sep/20
$${wakwakwak}…. \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Sep/20
$$\mathcal{E}{xcellent}\:\mathcal{S}{ir}! \\ $$$${Perhaps}\:{the}\:{nicest}! \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 17/Sep/20
$$\overline {\mathrm{xz}}.\mathrm{4}\overline {\mathrm{yz}}=\mathrm{7344}\Leftrightarrow\left(\mathrm{10x}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{400}+\mathrm{10y}+\mathrm{z}\right)=\mathrm{7344} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{4000x}+\mathrm{400z}+\mathrm{100xy}+\mathrm{10yz}+\mathrm{10xz}\right) \\ $$$$+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7344}\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{7344}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\vdots\mathrm{10}\Rightarrow\mathrm{z}\in\left\{\mathrm{2},\mathrm{8}\right\} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{z}=\mathrm{2}\:\mathrm{then}\:\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{4000x}+\mathrm{800}+\mathrm{100xy}+\mathrm{20y}+\mathrm{20x}+\mathrm{4}=\mathrm{7344} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4020x}+\mathrm{100xy}+\mathrm{20y}=\mathrm{6540} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{402x}+\mathrm{10xy}+\mathrm{2y}=\mathrm{654} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{201x}+\mathrm{5xy}+\mathrm{y}=\mathrm{327}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{327}−\mathrm{201x}}{\mathrm{5x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5y}=\frac{\mathrm{327}.\mathrm{5}−\mathrm{5}.\mathrm{201x}}{\mathrm{5x}+\mathrm{1}}=−\mathrm{201}+\frac{\mathrm{1836}}{\mathrm{5x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{5y}+\mathrm{201}\right)\left(\mathrm{5x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1836} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5y}+\mathrm{201}\mid\mathrm{1836}=\mathrm{3}^{\mathrm{3}} .\mathrm{2}^{\mathrm{2}} .\mathrm{17} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{0}\leqslant\:\mathrm{y}\leqslant\mathrm{9},\mathrm{201}<\mathrm{5y}+\mathrm{201}\leqslant\mathrm{246} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{divisors}\:\mathrm{biger}\:\mathrm{201}\:\mathrm{of}\:\mathrm{1836}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{204},\mathrm{306}, \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{5y}+\mathrm{201}=\mathrm{204}=\mathrm{17}.\mathrm{12}\Rightarrow\mathrm{y}\notin\mathrm{N} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{z}=\mathrm{8}\:\mathrm{then}\:\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{4000x}+\mathrm{3200}+\mathrm{100xy}+\mathrm{80y}+\mathrm{80x}+\mathrm{64}=\mathrm{7344} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4080x}+\mathrm{100xy}+\mathrm{80y}=\mathrm{4080} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{408x}+\mathrm{10xy}+\mathrm{8y}=\mathrm{408} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{204x}+\mathrm{5xy}+\mathrm{4y}=\mathrm{204}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{5xy}+\mathrm{4y}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{204x}\geqslant\mathrm{204},\mathrm{so} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{5xy}+\mathrm{4y}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{204x}=\mathrm{204}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{our}\:\mathrm{problem}\:\mathrm{has}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{x}},\boldsymbol{\mathrm{y}},\boldsymbol{\mathrm{z}}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{8}\right)\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}+\boldsymbol{\mathrm{y}}+\boldsymbol{\mathrm{z}}=\mathrm{9} \\ $$$$ \\ $$