Question Number 114710 by mohammad17 last updated on 20/Sep/20
Answered by 1549442205PVT last updated on 20/Sep/20
$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{find}\:\delta>\mathrm{0}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\forall\mathrm{x},\mathrm{y}\:: \\ $$$$\mid\mathrm{x}−\mathrm{0}\mid<\delta,\mid\mathrm{y}−\mathrm{0}\mid<\delta\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{then} \\ $$$$\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{0}\mid<\mathrm{8}\:\left(\mathrm{2}\right).\mathrm{Because} \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{clear}\:\mathrm{when}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{y}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \mid=\mathrm{2}<\mathrm{8}\:\mathrm{hence},\mathrm{choosing}\:\delta=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{for}\:\forall\mathrm{x},\mathrm{y}\:\mathrm{satisfy}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{alway}\:\mathrm{true}.\mathrm{Therefore},\:\mathrm{in}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{available}\:\mathrm{answers}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{choose}\:\mathrm{a} \\ $$$$\left(\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{options}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{satisfy}\right) \\ $$