Question Number 116915 by mathdave last updated on 07/Oct/20
Answered by Lordose last updated on 07/Oct/20
$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{lna}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{lna}} \\ $$$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\mathrm{1} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Oct/20
$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)….\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\:=\mathrm{nln}\left(\mathrm{a}\right)β\mathrm{ln}\left(\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\right) \\ $$$$=\mathrm{nlna}β\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:=\mathrm{1}β\mathrm{u}\:+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} β..\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)\:=\mathrm{u}β\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+…\:\Rightarrow\mathrm{u}β\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)\leqslant\mathrm{u}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{k}} β\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} }{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} \right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}β\mathrm{a}}β\mathrm{1}\:β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Γ\left(\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:β\mathrm{1}\right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}β\mathrm{a}}β\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{if}\:\mathrm{a}\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{nlna}β\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}β\mathrm{a}}\:+\mathrm{1}\:\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\leqslant\mathrm{nln}\left(\mathrm{a}\right)β\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}β\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}β\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mid\mathrm{a}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{nlna}\:=+\infty\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)=+\infty\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =+\infty\:\:\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{a}\mid>\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{put}\:\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\:\Rightarrow\mid\mathrm{u}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$β\mathrm{nlnu}β\frac{\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }}{\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}\:+\mathrm{1}\:\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\leqslantβ\mathrm{nlnu}\:β\frac{\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }}{\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}\:+\frac{\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$