Question Number 120186 by help last updated on 29/Oct/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Oct/20
$$\mathrm{where}\:\mathrm{is}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)? \\ $$
Commented by help last updated on 30/Oct/20
Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Oct/20
![1)lim_(x→0^+ ) f(x) =lim_(x→0^+ ) (((x+1)/x))ln(1+x) =lim_(x→0^+ ) (1+(1/x))ln(1+x) =lim_(x→0^+ ) ln(1+x)+((ln(1+x))/x) =0+1 =1=f(0) ⇒f is right contnue at x_0 =0 b)lim_(x→0^+ ) ((f(x)−f(0))/x) =lim_(x→0^+ ) (((((x+1)/x))ln(1+x)−1)/x) =lim_(x→0^+ ) (((x+1)ln(1+x)−x)/x^2 ) we have ln(1+x)∼x ⇒ (((x+1)ln(1+x)−x)/x^2 )∼(((x+1)x−x)/x^2 ) =1 ⇒f is differenviable on the right of o and f_d ^′ (0)=1 2)uts clear that f differenciable on]0,+∞[ and f^′ (x) =(d/dx)((1+(1/x))ln(1+x)) =−(1/x^2 )ln(1+x)+(1+(1/x)).(1/(1+x)) =−((ln(1+x))/x^2 ) +(1/x) =(1/x^2 ){x−ln(1+x)}](https://www.tinkutara.com/question/Q120263.png)
$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{0}+\mathrm{1}\:=\mathrm{1}=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{right}\:\mathrm{contnue} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{x}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sim\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{differenviable}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{right}\:\mathrm{of}\:\mathrm{o}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}_{\mathrm{d}} ^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\left.\right)\mathrm{uts}\:\mathrm{clear}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}\:\mathrm{differenciable}\:\mathrm{on}\right]\mathrm{0},+\infty\left[\:\mathrm{and}\right. \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$