Question Number 120529 by bemath last updated on 01/Nov/20
Commented by bemath last updated on 01/Nov/20
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 01/Nov/20
$$\:\:\:\:\:\:\:{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{a}^{\mathrm{3}} +…..+{na}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$−{aS}=\:\:\:\:\:−{a}−\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}^{\mathrm{3}} −……\left({n}−\mathrm{1}\right){a}^{{n}−\mathrm{1}} −{na}^{{n}} \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{a}\right)=\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{3}} +…{a}^{{n}−\mathrm{1}} −{na}^{{n}} \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{a}\right)=\frac{\mathrm{1}−{a}^{{n}} }{\mathrm{1}−{a}}−{na}^{{n}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}−{a}^{{n}} }{\left(\mathrm{1}−{a}\right)^{\mathrm{2}} }−{na}^{{n}} \:=\frac{{na}^{{n}} }{{a}−\mathrm{1}}−\frac{{a}^{{n}} −\mathrm{1}}{\left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${n}=\mathrm{50} \\ $$$${S}=\mathrm{50}.\mathrm{2}^{\mathrm{50}} −\mathrm{2}^{\mathrm{50}} +\mathrm{1}=\mathrm{49}.\mathrm{2}^{\mathrm{50}} +\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$