Question Number 120531 by A8;15: last updated on 01/Nov/20
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 01/Nov/20
$$\int{e}^{{x}^{{x}} } {dx}=\int\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({x}^{{x}} \right)^{{n}} }{{n}!}{dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\int{x}^{{nx}} {dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\int\left({e}^{{xlogx}} \right)^{{n}} {dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\int{e}^{{nxlogx}} {dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\int\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left({nxlogx}\right)^{{n}} }{{n}!}{dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\int{n}^{{n}} {x}^{{n}} {log}^{{n}} {xdx} \\ $$$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{x}} {dx}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\left({n}+\mathrm{1}\right)} } \\ $$
Answered by Lordose last updated on 01/Nov/20
$$\mathrm{I}\:\mathrm{prefer}\:\mathrm{you}\:\mathrm{use}\:\mathrm{series} \\ $$