Question-120631

Question Number 120631 by 77731 last updated on 01/Nov/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Nov/20

let determine a solution at formy= Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n y^′ =Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n−1) and y^(′′) =Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) e ⇒2Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) −(x−1)Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =0 ⇒ 2 Σ_(n=0) ^∞ (n+2)(n+1)a_(n+2) x^n −Σ_(n=0) ^∞ a_n x^(n+1) +Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =0 ⇒ Σ_(n=0) ^∞ 2(n+1)(n+2)a_(n+2) x^n −Σ_(n=1) ^∞ a_(n−1) x^n +Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =0 ⇒ { ((2(n+1)(n+2)a_(n+2) −a_(n−1) +a_n =0 ∀n≥1)),((4a_2 +a_0 =0)) :} ⇒ { ((a_2 =−)),((2(n+1)(n+2)a_(n+2) =a_(n−1) −a_n )) :} we have a_(n−1) −a_n =2(n+1)(n+2)a_(n+2) ⇒ Σ_(k=1) ^n (a_(k−1) −a_k ) =2Σ_(k=1) ^n (k+1)(k+2)a_(k+2) ⇒ a_0 −a_n =2 Σ_(k=1) ^n (k+1)(k+2)a_(k+2) ⇒ a_n =a_0 −2Σ_(k=1) ^n (k+1)(k+2)a_(k+2) .....be contonued...

$$\mathrm{let}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{a}\:\mathrm{solution}\:\:\mathrm{at}\:\mathrm{formy}=\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0}\:\:\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}}\\{\mathrm{4a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =−}\\{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }\end{cases} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{2}} …..\mathrm{be}\:\mathrm{contonued}… \\ $$

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