Question Number 121355 by john santu last updated on 07/Nov/20
Answered by liberty last updated on 07/Nov/20
$$\mathrm{using}\:\mathrm{the}\:\mathrm{formula}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{y}−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)\:\&\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{are}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{points}\:\mathrm{of}\:\mathrm{diameter}\:\mathrm{circle} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{passes}\:\mathrm{through}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point} \\ $$$$\left(\mathrm{2},\mathrm{4}\right)\:\mathrm{give}\:\left(\mathrm{2}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{2}−\mathrm{10}\right)+\left(\mathrm{4}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{4}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:−\mathrm{8}\left(\mathrm{2}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{2}\:;\:\mathrm{a}=\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{y}−\mathrm{6}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{4}}\:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9y}+\mathrm{18}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{2401}}{\mathrm{64}}+\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{4}}−\mathrm{18} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{2401}−\mathrm{144}−\mathrm{1152}}{\mathrm{64}} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{1105}}{\mathrm{64}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{diameter}\:\mathrm{passes}\:\mathrm{througt} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{points}\:\mathrm{A}\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{10},\mathrm{6}\right)\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\Rightarrow^{−×\left({y}\right)} \begin{vmatrix}{\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{10}\:\:\:\:\:\mathrm{6}}\end{vmatrix}_{−×\left({x}\right)} \Rightarrow\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{4}}\mathrm{y}=\mathrm{30}−\frac{\mathrm{186}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{4}}\mathrm{y}\:+\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{12x}−\mathrm{31y}+\mathrm{66}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by john santu last updated on 07/Nov/20