Question Number 121725 by oustmuchiya@gmail.com last updated on 11/Nov/20
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 11/Nov/20
$${f}\left({n}\right)=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{n}−\mathrm{15}}{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{n}−\mathrm{3}}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{n}+\mathrm{3}{n}−\mathrm{15}}{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{n}−{n}−\mathrm{3}}=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{5}\right)+\mathrm{3}\left({n}−\mathrm{5}\right)}{\mathrm{2}{n}\left({n}+\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$${f}\left({n}\right)=\frac{\left({n}−\mathrm{5}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}{\left({n}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}=\frac{{n}−\mathrm{5}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left.{i}\right){when}\:{n}\rightarrow\infty \\ $$$${li}\underset{{n}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{{n}−\mathrm{5}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${li}\underset{{n}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{5}}{{n}}}{\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{0}}{\mathrm{2}−\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${when}\:{n}\rightarrow−\mathrm{3} \\ $$$${li}\underset{{n}\rightarrow−\mathrm{3}} {{m}}\:\frac{{n}−\mathrm{5}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{3}−\mathrm{5}}{−\mathrm{6}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{7}} \\ $$$${when}\:{n}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$${li}\underset{{n}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\frac{{n}−\mathrm{5}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{5}}{−\mathrm{1}}=\mathrm{5} \\ $$