Question Number 121834 by bemath last updated on 12/Nov/20
Answered by liberty last updated on 12/Nov/20
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{gcd}\left(\mathrm{93},\mathrm{27}\right)\:=\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{6}\:\mathrm{divides}\:\mathrm{by}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{therefore}\:\mathrm{there}\:\mathrm{exist}\:\mathrm{solutions}.\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{93}\:=\:\mathrm{3}×\mathrm{27}+\mathrm{12}\:\wedge\:\mathrm{27}\:=\:\mathrm{2}×\mathrm{12}+\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{12}\:=\:\mathrm{4}×\mathrm{3}\:+\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\:\mathrm{3}\:=\:\mathrm{1}×\mathrm{27}−\mathrm{2}×\mathrm{12}\: \\ $$$$\:\:\:\:=\:\mathrm{1}×\mathrm{27}−\mathrm{2}\left(\mathrm{1}×\mathrm{93}−\mathrm{3}×\mathrm{27}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\:\mathrm{7}×\mathrm{27}−\mathrm{2}×\mathrm{93} \\ $$$$\mathrm{thus}\:−\mathrm{2}×\mathrm{93}\:+\:\mathrm{7}×\mathrm{27}\:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{so}\:−\mathrm{4}×\mathrm{93}−\left(−\mathrm{14}\right)×\mathrm{27}\:=\:\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{is}\:\begin{cases}{\mathrm{x}=−\mathrm{4}−\mathrm{9k}}\\{\mathrm{y}=−\mathrm{14}−\mathrm{31k}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{k}\in\mathbb{Z}\: \\ $$$$ \\ $$