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Question-122214




Question Number 122214 by peter frank last updated on 14/Nov/20
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 14/Nov/20
if f(x) has a repeated root so f′(x) has that root  f′(x)=54x^2 +6x−88=0=27x^2 +3x−44  x=((−1±(√(1+4.44.3)))/(18))=((−1±23)/(18))  x=((11)/9) or x=−(4/3)  checking the solutions on the original  equation you find that ((−4)/3) is a root  f(x)=(x+(4/3))^2 (ax+b)=18x^3 +3x^2 −88x−80  ⇒(x^2 +((8x)/3)+((16)/9))(18x+b)=18x^3 +(48+b)x^2 +(32+((8b)/3))x+((16b)/9)  48+b=3⇒b=−45  f(x)=(x+(4/3))^2 (18x−45)  18x−45=0⇒x=(5/2)  the roots are x=((−4)/3), ((−4)/3) and (5/2)
$$\mathrm{if}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{repeated}\:\mathrm{root}\:\mathrm{so}\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{that}\:\mathrm{root} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{54x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}−\mathrm{88}=\mathrm{0}=\mathrm{27x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{44} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4}.\mathrm{44}.\mathrm{3}}}{\mathrm{18}}=\frac{−\mathrm{1}\pm\mathrm{23}}{\mathrm{18}} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{9}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{checking}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original} \\ $$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{you}\:\mathrm{find}\:\mathrm{that}\:\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{18x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{88x}−\mathrm{80} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{8x}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\right)\left(\mathrm{18x}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{18x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{48}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{32}+\frac{\mathrm{8b}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{16b}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\mathrm{48}+\mathrm{b}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{45} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{18x}−\mathrm{45}\right) \\ $$$$\mathrm{18x}−\mathrm{45}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{3}},\:\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$

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