Question Number 122791 by mohammad17 last updated on 19/Nov/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Nov/20
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{mx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{mx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{Res}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imx}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\infty} \mid\mathrm{z}\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mid=\mathrm{0}\:\mathrm{and} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:\left[\mathrm{rssidus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\right. \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\:\:\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{ime}^{\mathrm{imz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{ime}^{\mathrm{imz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{im}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{imz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left.\mathrm{2i}\left(\mathrm{im}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} }{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\left(−\mathrm{2m}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} }{−\mathrm{8i}}\:=\frac{\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} }{\mathrm{4i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} }{\mathrm{4i}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} \:\Rightarrow\bigstar\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{m}} \bigstar \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 19/Nov/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)−\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)}{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{tan}^{−\mathrm{1}} {x}\mid_{} ^{\infty} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 19/Nov/20
$${thank}\:{you}\:{mis} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Nov/20
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{A}\:=\left[−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2sinx}\:\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{2x}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)}{\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}}×\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Nov/20
$$\left.\mathrm{4}\right)\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{2i}\right)} \\ $$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2i}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\left(\mathrm{3}\right)}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6i}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{2i}} \:\:\left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{4i}\left(−\mathrm{3}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3i}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6i}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3i}}\right\}\:=\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\:=\pi\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{error}\:\mathrm{at}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:…! \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Nov/20
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:\mathrm{let} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\mathrm{iax}} \:\mathrm{dx}\right)\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{iaz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\infty} \mid\mathrm{zw}\left(\mathrm{z}\right)\mid=\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{iaz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{2i}\right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{W}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{2i}\right)\:=\mathrm{2i}\pi.\frac{\mathrm{2i}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ia}\left(\mathrm{2i}\right)} }{\mathrm{4i}}\:=\mathrm{i}\pi\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2a}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2a}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{error}\:\mathrm{at}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:'.! \\ $$