Question Number 122853 by rs4089 last updated on 20/Nov/20
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 20/Nov/20
$${y}\:\:\:\bigtriangleup{y}\:\bigtriangleup^{\mathrm{2}} {y} \\ $$$$\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{10}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{17}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{26} \\ $$$$\phi\left({y}\right)=\mathrm{2}+\mathrm{3}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}+{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\overset{\infty} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}−…={S} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\pi+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{{e}^{\mathrm{2}\pi} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+…={S}' \\ $$$${S}+{S}^{'} =\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{26}}+…\right) \\ $$$${S}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{26}}+…\right)−\frac{\pi+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{{e}^{\mathrm{2}\pi} −\mathrm{1}}=\mathrm{0}.\mathrm{636017644} \\ $$$$ \\ $$
Commented by rs4089 last updated on 20/Nov/20
$${how}\:{we}\:{can}\:{use}\:{fourier}\:{series}\:{of}\:\:{e}^{{ax}} \:\:? \\ $$