Question Number 123715 by Engr_Jidda last updated on 27/Nov/20
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 27/Nov/20
$$\int_{−\infty} ^{\infty} \frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} }{{e}^{\mathrm{3}{x}} +\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {e}^{\mathrm{2}{x}} {e}^{−\mathrm{3}{nx}} {dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−{x}\left(\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}\right)} {dx}\:\:\:\:\:\:\:{x}\left(\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}\right)={u} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−{u}} {du} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}}\Gamma\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{3}{n}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{3}{n}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}+\frac{−\frac{{x}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}\:\:\:\: \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[{log}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Nov/20
$$\mathrm{A}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{t}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{3t}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{3nx}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{3n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=_{\left(\mathrm{3n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}=\mathrm{u}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{3n}+\mathrm{2}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{2}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{3nx}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{3n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=_{\left(\mathrm{3n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}=\mathrm{u}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{2}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{those}\:\mathrm{series}…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Commented by Engr_Jidda last updated on 30/Nov/20
$${thanks}\:{i}'{m}\:{waiting}\:{sir} \\ $$