Question Number 123845 by Akeyz last updated on 28/Nov/20
Commented by TANMAY PANACEA last updated on 28/Nov/20
$${n}=\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{8}+\mathrm{27}}{\mathrm{12}+\mathrm{18}}=\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{30}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{6}} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 28/Nov/20
$$\mathrm{6}.\left(\mathrm{2}^{\mathrm{3n}} +\mathrm{3}^{\mathrm{3n}} \right)=\mathrm{7}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2n}} \right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{a},\:\mathrm{3}^{\mathrm{n}} =\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{6}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{7}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{6}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{7ab}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{6}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}\right)=\mathrm{7ab} \\ $$$$\mathrm{6a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{13ab}+\mathrm{6b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{13b}\pm\mathrm{5b}}{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{3b}}{\mathrm{2}},\:\frac{\mathrm{2b}}{\mathrm{3}}\: \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{n}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by WilliamsErinfolami last updated on 28/Nov/20
