Question Number 125249 by mohammad17 last updated on 09/Dec/20
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 09/Dec/20
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{5}}\right)…\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)}{{x}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)}{{x}}={y} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1}−{xy} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{log}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{log}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)={log}\left(\mathrm{1}−{xy}\right) \\ $$$$\overset{{n}} {\sum}\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}={log}\left(−{yx}+\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{log}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)=\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\:\:\left({x}\rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+…\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=−{xy} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+…\right)=−{y}\:\:\:\:\:\:{As}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)={x} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}} \\ $$$${If}\:{n}\rightarrow\infty \\ $$$${y}=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+…\right)−\mathrm{1}={log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}={log}\left(\frac{\mathrm{2}}{{e}}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Dec/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ….\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}} }{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ….\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\sim\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\right)…..\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\right)\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}\right)+…\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\sim\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:\mathrm{but} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−….−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} −\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−….−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right. \\ $$$$\left.−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−…−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}\:\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)−\gamma−\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=−\mathrm{1}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Dec/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\sim\mathrm{o}\right) \\ $$