Question Number 125450 by joki last updated on 11/Dec/20
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 11/Dec/20
$$\int\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}}+\frac{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{log}\left({x}\right)+{log}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+{C} \\ $$
Commented by joki last updated on 11/Dec/20
$${l}\:{dont}\:{understand}\:{sir},{can}\:{you}\:{explain}\:{with}\:{detail}.\:{thanks}\:{sir} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 11/Dec/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$
Answered by john_santu last updated on 11/Dec/20
$${Horner}\:{division} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}}=\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Dec/20
$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)+\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)+\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}=\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}+\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)\mathrm{dx}+\int\:\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}\:\:+\mathrm{3}\int\:\:\frac{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\mid−\mathrm{2}\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mid\:\Rightarrow \\ $$$$\int\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\mid−\mathrm{2ln}\mid\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 11/Dec/20
$$\mathrm{sorry}\:\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mid+\mathrm{C} \\ $$