Question Number 126780 by TITA last updated on 24/Dec/20
Commented by TITA last updated on 24/Dec/20
$$\mathrm{pleaae}\:\mathrm{help} \\ $$
Answered by physicstutes last updated on 24/Dec/20
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{please}\:\mathrm{type}\:\mathrm{your}\:\mathrm{questions}\:\mathrm{next}\:\mathrm{time} \\ $$$$\mathrm{they}\:\mathrm{are}\:\mathrm{really}\:\mathrm{bad}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{eyes}. \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{Solution}} \\ $$$$\:\mathrm{Fibonacci}\:\mathrm{sequence}\:=\:\begin{cases}{{F}_{{n}+\mathrm{1}} \:=\:{F}_{{n}} \:+\:{F}_{{n}−\mathrm{1}} }\\{{F}_{\mathrm{1}} \:=\:{F}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{1},}\end{cases}\:\forall\:{n}\:\in\:\mathbb{N}\:,\:{n}\geqslant\:\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:{F}_{\mathrm{3}} \:=\:{F}_{\mathrm{2}} +\:{F}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{F}_{\mathrm{4}} \:=\:{F}_{\mathrm{3}} \:+\:{F}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{F}_{\mathrm{5}} \:=\:{F}_{\mathrm{4}} \:+\:{F}_{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{3}\:+\:\mathrm{2}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{gcd}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{5}\right)\:=\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\:{F}_{\mathrm{3}} ,{F}_{\mathrm{4}} \mathrm{and}\:{F}_{\mathrm{5}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{relatively}\:\mathrm{prime}. \\ $$$$\:\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{proven}\:\mathrm{for}\:{n}\:=\:\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:{n}\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:{n}\:=\:{k} \\ $$$$\:\:\mathrm{gcd}\:\left({F}_{{k}} ,\:{F}_{{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{for}\:{n}={k}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{gcd}\:\left({F}_{{k}+\mathrm{1}} ,\:{F}_{{k}+\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{gcd}\left({F}_{{k}+\mathrm{1}} ,{F}_{{n}+\mathrm{1}} +{F}_{\mathrm{1}} \right)\:=\:\mathrm{1}. \\ $$