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Question-126848

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Question Number 126848 by mohammad17 last updated on 24/Dec/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Dec/20
∣z−1+i∣=1 put z=x+iy ⇒ ∣z−1+i∣=∣x+iy−1+i∣=∣x−1+i(y+1)∣=(√((x−1)^2 +(y+1)^2 )) ∣z−1+i∣=1 ⇒(x−1)^2 +(y+1)^2 =1 so the locus is the circle with centre w(1,−1) and radius R=1
$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{1}+\mathrm{i}\mid=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{put}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:\Rightarrow \\ $$$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{1}+\mathrm{i}\mid=\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}−\mathrm{1}+\mathrm{i}\mid=\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\mid=\sqrt{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{1}+\mathrm{i}\mid=\mathrm{1}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{1}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{centre}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{1},−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{R}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 24/Dec/20
pleas sir help me in all qestion
$${pleas}\:{sir}\:{help}\:{me}\:{in}\:{all}\:{qestion} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Dec/20
∣z−3i∣<2 let z=x+iy ∣z−3i∣<2 ⇒∣x+iy−3i∣<2 ⇒∣x+i(y−3)∣<2 ⇒(√(x^2 +(y−3)^2 ))<2 ⇒ x^2 +(y−3)^2 <4 ⇒locus is intrior of circle with centre w(o′3) and radius 2
$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{3i}\mid<\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ $$$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{3i}\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}−\mathrm{3i}\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} <\mathrm{4}\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{intrior}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{centre}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{o}'\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{2} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Dec/20
Re(z+1)=2 let z=x+iy ⇒Res(z+1)=Res(x+iy+1)=2 ⇒ x+1=2 ⇒x=1 so the locus is line x=1
$$\mathrm{Re}\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{Res}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{line}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Dec/20
∣z+i∣<2 and ∣z−i∣>3 let z=x+iy ∣z+i∣<2 ⇒∣x+iy+i∣<2 ⇒(√(x^2 +(y+1)^2 ))<2 ⇒x^2 +(y+1)^2 <4 ⇒locus is Interior of circle C(w,r) /w(0,−1) and r=2 ∣z−i∣>3 ⇒∣x+iy−i∣>3 ⇒∣x+i(y−1)∣>3 ⇒ (√(x^2 +(y−1)^2 ))>3 ⇒ x^2 +(y−1)^2 >9 ⇒locus is Int(C(w^′ (o,1),3) ⇒ locus is In(C(w,2))∩Int(C(w^′ ,3))
$$\mid\mathrm{z}+\mathrm{i}\mid<\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{z}−\mathrm{i}\mid>\mathrm{3}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ $$$$\mid\mathrm{z}+\mathrm{i}\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}+\mathrm{i}\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }<\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} <\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Interior}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{C}\left(\mathrm{w},\mathrm{r}\right)\:/\mathrm{w}\left(\mathrm{0},−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}=\mathrm{2} \\ $$$$\mid\mathrm{z}−\mathrm{i}\mid>\mathrm{3}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}+\mathrm{iy}−\mathrm{i}\mid>\mathrm{3}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)\mid>\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }>\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} >\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Int}\left(\mathrm{C}\left(\mathrm{w}^{'} \left(\mathrm{o},\mathrm{1}\right),\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{locus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{In}\left(\mathrm{C}\left(\mathrm{w},\mathrm{2}\right)\right)\cap\mathrm{Int}\left(\mathrm{C}\left(\mathrm{w}^{'} \:,\mathrm{3}\right)\right) \\ $$

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