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Question-126950

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Question Number 126950 by AST last updated on 05/Dec/22
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 25/Dec/20
A.1+2^2^n +2^2^(n+1) ≡1+(−1)^2^n +(−1)^2^(n+1) ≡1+1+1≡0(mod 3) A is true for all n∈N(Z_+ ^∗ ) B.1+2^2^n +2^2^(n+1) (mod7) 2^n =6q_1 +r_1 2^(n+1) =6.2q_1 +2r_1 ⇒0≤2r_1 <5⇒0≤r_1 ≤2 (I)2^n =6q_1 , (II)2^n =6q_1 +1, (III)2^n =6q_1 +2 (I):1+(2^q_1 )^6 +(2^(2q_1 ) )^6 ≡3≡0(mod7) (II):1+(2^q_1 )^6 .2^1 +(2^(2q_1 ) )^6 .2^2 ≡1+2+4≡0(mod7) (III):1+(2^q_1 )^6 .2^2 +(2^(2q_1 ) )^6 .2^4 ≡1+4+16≡0(mod7) B is true for all n∈N C.1+2^2^n +2^2^(n+1) ∣1+2^2^(n+1) +2^2^(n+2) (....) D.s_n ^2 >s_(n+1) ⇒ (1+2^2^n +2^2^(n+1) )^2 >1+2^2^(n+1) +2^2^(n+2) 1+2^2^(n+1) +2^2^(n+2) +2^(2^n +1) +2^(2^(n+1) +1) +2^(2^n .3+1) >1+2^2^(n+1) +2^2^(n+2) D is true for all n∈N E.12s_1 s_2 ...s_n <s_(n+1) (....)
$$\mathrm{A}.\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \equiv\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \equiv\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N}\left(\mathbb{Z}_{+} ^{\ast} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{B}.\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \left(\mathrm{mod7}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{6q}_{\mathrm{1}} +\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{6}.\mathrm{2q}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2r}_{\mathrm{1}} \Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{2r}_{\mathrm{1}} <\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant\mathrm{r}_{\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{I}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{6q}_{\mathrm{1}} ,\:\left(\mathrm{II}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{6q}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1},\:\left(\mathrm{III}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{6q}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{I}\right):\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} +\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} \equiv\mathrm{3}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod7}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{II}\right):\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} .\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} .\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{4}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod7}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{III}\right):\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{\mathrm{q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} .\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2q}_{\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{6}} .\mathrm{2}^{\mathrm{4}} \equiv\mathrm{1}+\mathrm{4}+\mathrm{16}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod7}\right) \\ $$$$\mathrm{B}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{C}.\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \mid\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(….\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{D}.\mathrm{s}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} >\mathrm{s}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{2}} >\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{3}+\mathrm{1}} >\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{D}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{E}.\mathrm{12s}_{\mathrm{1}} \mathrm{s}_{\mathrm{2}} …\mathrm{s}_{\mathrm{n}} <\mathrm{s}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(….\right) \\ $$
Commented by AST last updated on 26/Sep/22
C ⇒ 1+2^2^n +2^2^(n+1) ∣1+2^2^(n+1) +2^2^(n+2) Let 2^2^n =p ∴C⇒ 1+p+p^2 ∣1+p^2 +p^4 1+p^2 +p^4 =(p^2 +1)^2 −p^2 =(p^2 +1−p)(p^2 +1+p) ⇒ C is true
$${C}\:\Rightarrow\:\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \mid\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } +\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{2}} } \\ $$$${Let}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}^{{n}} } ={p} \\ $$$$\therefore{C}\Rightarrow\:\mathrm{1}+{p}+{p}^{\mathrm{2}} \mid\mathrm{1}+{p}^{\mathrm{2}} +{p}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1}+{p}^{\mathrm{2}} +{p}^{\mathrm{4}} =\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −{p}^{\mathrm{2}} =\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{p}\right)\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+{p}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:{C}\:{is}\:{true} \\ $$

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