Question Number 127865 by Ar Brandon last updated on 02/Jan/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 03/Jan/21
$$\left.\mathrm{a}\right)\mathrm{wehave}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}\:} =\mathrm{f}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{contnue}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{fix}\:\mathrm{point}\:\:\mathrm{verify}\:\mathrm{x}=\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{k}} −\mathrm{u}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{1}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +….+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{o}} −\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 03/Jan/21
Merci monsieur😃