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Question-128590

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Question Number 128590 by I want to learn more last updated on 08/Jan/21
Answered by mr W last updated on 08/Jan/21
Commented by mr W last updated on 08/Jan/21
AB=1 BC=(√2) ((3×180°)/5)=108° AC=(√(1^2 +((√2))^2 −2×1×(√2)×cos (108+45))) =(√(3+2(√2)cos 27°)) ((sin α)/( (√2)))=((sin (108+45))/( (√(3+2(√2)cos 27)))) ⇒sin α=(((√2)sin (27))/( (√(3+2(√2)cos 27)))) ((sin (β+108−α))/1)=((sin β)/( (√(3+2(√2)cos 27)))) ((sin β cos (108−α)+cos β sin (108−α))/(sin β))=(1/( (√(3+2(√2)cos 27)))) −sin (18−α)+((cos (18−α))/(tan β))=(1/( (√(3+2(√2)cos 27)))) ⇒tan β=((cos (18−α))/((1/( (√(3+2(√2)cos 27))))+sin (18−α))) ⇒α=15.858737° ⇒β=65.141263° ⇒?=108−α−β=27°
$${AB}=\mathrm{1} \\ $$$${BC}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}×\mathrm{180}°}{\mathrm{5}}=\mathrm{108}° \\ $$$${AC}=\sqrt{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{1}×\sqrt{\mathrm{2}}×\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{108}+\mathrm{45}\right)} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}°} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{108}+\mathrm{45}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\alpha=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{27}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\beta+\mathrm{108}−\alpha\right)}{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{sin}\:\beta}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{108}−\alpha\right)+\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{108}−\alpha\right)}{\mathrm{sin}\:\beta}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}} \\ $$$$−\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{18}−\alpha\right)+\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{18}−\alpha\right)}{\mathrm{tan}\:\beta}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}\:\beta=\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{18}−\alpha\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{27}}}+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{18}−\alpha\right)} \\ $$$$\Rightarrow\alpha=\mathrm{15}.\mathrm{858737}° \\ $$$$\Rightarrow\beta=\mathrm{65}.\mathrm{141263}° \\ $$$$\Rightarrow?=\mathrm{108}−\alpha−\beta=\mathrm{27}° \\ $$
Commented by I want to learn more last updated on 08/Jan/21
Thanks sir, i appreciate.
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir},\:\:\mathrm{i}\:\mathrm{appreciate}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/Jan/21
Commented by mr W last updated on 08/Jan/21
DE=2×1×sin ((108)/2)=2 sin 54° FC=2×1×sin ((180−108)/2)=2 sin 36° ∠CFD=90+108−((180−108)/2)=162° DC^2 =1^2 +(2 sin 54)^2 −2×1×2×sin 54×cos 162 =1+4 sin^2 54+4 sin 54 cos 18 DF^2 =3+2(√2) cos 27 (2 sin 36)^2 =1+4 sin^2 54+4 sin 54 cos 18+3+2(√2) cos 27−2 cos x (√((1+4 sin^2 54+4 sin 54 cos 18)(3+2(√2) cos 27))) cos x=((2+2 sin 54 cos 18+(√2) cos 27−2 sin 18)/( (√((1+4 sin^2 54+4 sin 54 cos 18)(3+2(√2) cos 27))))) ...
$${DE}=\mathrm{2}×\mathrm{1}×\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{108}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}° \\ $$$${FC}=\mathrm{2}×\mathrm{1}×\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{180}−\mathrm{108}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{36}° \\ $$$$\angle{CFD}=\mathrm{90}+\mathrm{108}−\frac{\mathrm{180}−\mathrm{108}}{\mathrm{2}}=\mathrm{162}° \\ $$$${DC}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{1}×\mathrm{2}×\mathrm{sin}\:\mathrm{54}×\mathrm{cos}\:\mathrm{162} \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{54}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18} \\ $$$${DF}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{36}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{54}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}+\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}−\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{x}\:\sqrt{\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{54}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\right)\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\right)} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}=\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}−\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{54}+\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\right)\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\right)}} \\ $$$$… \\ $$
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Thanks sir, i appreciate
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir},\:\:\mathrm{i}\:\mathrm{appreciate} \\ $$

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