Question-129287

Question Number 129287 by math178 last updated on 14/Jan/21

Commented by math178 last updated on 14/Jan/21

$${differential}\:{equation}\:{homogeneous}\:{solution} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jan/21

y^((2)) −3y^((1)) +2y =(e^x /(1+e^(−x) )) h→r^2 −3r+2=0 →Δ=1 ⇒r_1 =((3+1)/2)=2 and r_2 =((3−1)/2)=1 ⇒ y_h =ae^x +be^(2x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^x e^(2x) )),((e^x 2e^(2x) )))=2e^(3x) −e^(3x) =e^(3x) ≠0 W_1 = determinant (((o e^(2x) )),(((e^x /(1+e^(−x) )) 2e^(2x) )))=−(e^(3x) /(1+e^(−x) )) W_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x (e^x /(1+e^(−x) )))))=(e^(2x) /(1+e^(−x) )) v_1 =∫ (w_1 /W)dx =−∫ (e^(3x) /((1+e^(−x) )e^(3x) ))dx =−∫ (dx/(1+e^(−x) )) =−∫ (e^x /(e^x +1))dx =−ln(e^x +1) v_2 =∫ (w_2 /W)dx =∫ (e^(2x) /((1+e^(−x) )e^(3x) ))dx =∫ (e^(−x) /(1+e^(−x) ))dx =−ln(e^(−x) +1) ⇒ y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−e^x ln(e^x +1)−e^(2x) ln(e^(−x) +1) general solution is y =y_h +y_p =ae^x +be^(2x) −e^x ln(e^x +1)−e^(2x) ln(e^(−x) +1)

$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} −\mathrm{3y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:+\mathrm{2y}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3r}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{2x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{2e}^{\mathrm{3x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\:\:\:\:\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }}\end{vmatrix}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=−\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right)−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\mathrm{2x}} \:−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right)−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{1}\right) \\ $$

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