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Question-129883

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Question Number 129883 by Algoritm last updated on 20/Jan/21
Answered by Olaf last updated on 20/Jan/21
y′′+2y′+y = 2x+1−2e^(−x) (1) Let y = u(x)e^(−x) +v(x) y′ = (u′−u)e^(−x) +v′ y′′ = (u′′−2u′+u)e^(−x) +v′′ (1) : u′′e^(−x) +v′′+2v′+v = 2x−1−2e^(−x) By identification, if we choose u′′ = −2, ⇒ u = −x^2 +ax+b v′′+2v′+v = 2x+1 (2) → v = (cx+d)e^(−x) +2x−3 y = ue^(−x) +v = −(x^2 +C_1 x+C_2 )e^(−x) +2x−3
$$\:{y}''+\mathrm{2}{y}'+{y}\:=\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2}{e}^{−{x}} \:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:{y}\:=\:{u}\left({x}\right){e}^{−{x}} +{v}\left({x}\right) \\ $$$${y}'\:=\:\left({u}'−{u}\right){e}^{−{x}} +{v}' \\ $$$${y}''\:=\:\left({u}''−\mathrm{2}{u}'+{u}\right){e}^{−{x}} +{v}'' \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{u}''{e}^{−{x}} +{v}''+\mathrm{2}{v}'+{v}\:=\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2}{e}^{−{x}} \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{identification},\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{choose}\:{u}''\:=\:−\mathrm{2}, \\ $$$$\Rightarrow\:{u}\:=\:−{x}^{\mathrm{2}} +{ax}+{b} \\ $$$${v}''+\mathrm{2}{v}'+{v}\:=\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\rightarrow\:{v}\:=\:\left({cx}+{d}\right){e}^{−{x}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$${y}\:=\:{ue}^{−{x}} +{v}\:=\:−\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{C}_{\mathrm{1}} {x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right){e}^{−{x}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{3} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jan/21
h→r^2 +2r+1=0 ⇒(r+1)^2 =0 ⇒r=−1 (double) ⇒ y_h =(ax+b)e^(−x) =axe^(−x) +be^(−x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((xe^(−x) e^(−x) )),(((1−x)e^(−x) −e^(−x) )))=−xe^(−2x) −(1−x)e^(−2x) =−e^(−2x) ≠0 w_1 = determinant (((o e^(−x) )),((2x+1−2e^(−x) −e^(−x) )))=−(2x+1)e^(−x) +2e^(−2x) w_2 = determinant (((xe^(−x) 0)),(((1−x)e^(−x) (2x+1)−2e^(−x) )))=(2x^2 +x−2x)e^(−2x) =(2x^2 −x)e^(−2x) v_1 =∫ (W_1 /W)dx =∫ (((2x+1)e^(−x) −2e^(−2x) )/e^(−2x) )dx =∫ (2x+1)e^x dx−2x = (2x+1)e^x −∫2e^x dx−2x =(2x+1)e^x −2e^x −2x =(2x−1)e^x −2x v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ (((2x^2 −x)e^(−2x) )/(−e^(−2x) ))dx=∫(−2x^2 +x)dx =−(2/3)x^3 +(x^2 /2) ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =xe^(−x) ((2x−1)e^x −2x)+e^(−x) (−(2/3)x^3 +(x^2 /2)) =(2x^2 −x)−2x^2 e^(−x) −(2/3)x^3 e^(−x) +(x^2 /2) e^(−x) =(−(2/3)x^3 −(3/2)x^2 )e^(−x) +2x^2 −x the general solution is y =y_h +y_p =axe^(−x) +be^(−x) −((2/3)x^3 +(3/2)x^2 )e^(−x) +2x^2 −x
$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2r}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=−\mathrm{1}\:\left(\mathrm{double}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{axe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{2e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{2x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$=\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}−\mathrm{2x}\:=\:\:\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}−\mathrm{2x} \\ $$$$=\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2x}\:=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}=\int\left(−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left(\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2x}\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{axe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} −\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x} \\ $$

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