Question Number 130006 by Adel last updated on 21/Jan/21
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Jan/21
$${S}={x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +…. \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +… \\ $$$${S}=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} \:\:}\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}^{\mathrm{4}} }+…=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by Adel last updated on 21/Jan/21
$$\mathrm{s}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\centerdot\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\mathrm{is}\:\:\:\:\mathrm{way}? \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Jan/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:{S}={x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +… \\ $$$$−{xS}=\:\:\:\:\:\:\:−{x}^{\mathrm{2}} \:\:−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −… \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +…\:\:\:\:\:\:\left({x}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +..=\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}}\right) \\ $$
Commented by Adel last updated on 21/Jan/21
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jan/21
$$\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }\:\:\:=\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{with}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{take}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mathrm{by}\:\mathrm{derivation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}×\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$