Question Number 130753 by Algoritm last updated on 28/Jan/21
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 28/Jan/21
$$\left.{a}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }=\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}}{\mathrm{2}^{{n}} }−\overset{\infty} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }=\mathrm{8}−\mathrm{2}=\mathrm{6} \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:{b}\right)\:\:\:\:\:\:\:{S}={x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}{x}^{\mathrm{4}} +… \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{4}} +.. \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}{x}^{\mathrm{4}} +…\right) \\ $$$${S}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\frac{{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\Rightarrow{S}=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{16}}+…\rightarrow{Diverges} \\ $$
Answered by JDamian last updated on 28/Jan/21
$$\left({ii}\right)\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{2}^{{k}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\Sigma}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\Sigma}}\mathrm{1}\:−\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }\right)= \\ $$$$=\:\infty−\mathrm{1}\:=\:\infty \\ $$