Question Number 13977 by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 25/May/17
Commented by prakash jain last updated on 26/May/17
$$\int\frac{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{3}} }{dx}+\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{3}} }{dx}=\int\frac{{du}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}+{u}\right)}\:\:\:\:\left({x}^{\mathrm{3}} ={u}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}+{u}\right)+{C}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$−−−−−− \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\right)=\left({x}+\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} \right)\left({x}+\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} {w}\right)\left({x}+\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} {w}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\left(\mathrm{1},{w},{w}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{are}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{unity}. \\ $$$${for}\:{easier}\:{typing}\:{i}\:{will}\:{put}\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}/\mathrm{3}} ={j} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{3}{dx}}{\left({x}+{j}\right)\left({x}+{jw}\right)\left({x}+{jw}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\int\frac{{A}}{{x}+{j}}{dx}+\int\frac{{B}}{{x}+{jw}}{dx}+\int\frac{{C}}{{x}+{jw}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$${perform}\:{partial}\:{fraction}\:{and} \\ $$$${integrate}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 26/May/17
$$\:{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}}\right){dx} \\ $$$$\:\:{let}\:{a}^{\mathrm{3}} =\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}=\left({x}+{a}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{ax}+{a}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${for}\:{x}=\mathrm{1},\:\:\left(\mathrm{1}+{a}\right)\left(\mathrm{1}−{a}+{a}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{3} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}}=\frac{{A}}{{x}+{a}}+\frac{{Bx}+{C}}{{x}^{\mathrm{2}} −{ax}+{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{{a}}{\mathrm{2}},\:\:{B}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}−\frac{{a}}{\mathrm{2}},\:{C}=\frac{\mathrm{2}}{{a}}−\frac{{a}}{\mathrm{3}} \\ $$$${I}={A}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\frac{{B}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{2}{x}−{a}\right){dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{ax}+{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({C}+\frac{{aB}}{\mathrm{2}}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:\mathrm{1}} \frac{{dx}}{\left({x}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:{I}\:={A}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\frac{{B}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left(\frac{\mathrm{1}−{a}+{a}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:+\left({C}+\frac{{aB}}{\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{2}}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right] \\ $$$$\:\:{substiting}\:{for}\:{A},{B},\:{C}\:{and} \\ $$$${utilizing}\:{the}\:{fact}\:\:{a}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{{a}}, \\ $$$${that}\:\:{a}^{\mathrm{2}} −{a}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{3}}{{a}+\mathrm{1}}\:\:{we}\:{have} \\ $$$${I}=\frac{\mathrm{3}{a}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+{a}\right)−\left(\frac{{a}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{ln}\:{a}+ \\ $$$$\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{{a}}{\mathrm{4}}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}+\frac{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right] \\ $$$${I}=\frac{\mathrm{3}{a}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\frac{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:−\frac{{a}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{3}{a}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{{a}}\right)\:. \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 26/May/17
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:{dear}\:{mr}\:{ajfour}. \\ $$
Answered by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 26/May/17
$${A}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}\Rightarrow{t}={Ax} \\ $$$$\frac{{x}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}={t}\Rightarrow\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{{t}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}={mt},{m}=\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}},{dx}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}{dt}={m}\sqrt{\mathrm{3}}{dt} \\ $$$${I}=\int\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\left(\frac{{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\left(\frac{{x}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{3}} \right)}{dx}=\frac{\mathrm{3}{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}+{mt}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}{m}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left[\int\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }+{m}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} {dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }\right]={A}\left[{I}_{\mathrm{1}} +{mI}_{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right){I}_{\mathrm{2}} =\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} {dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} \right)+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){I}_{\mathrm{1}} =\int\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }=? \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }=\frac{{a}}{\mathrm{1}+{t}}+\frac{{bx}+{c}}{\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} }\begin{cases}{{t}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{1}={a}+{c}}\\{{t}=\mathrm{1}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{{a}}{\mathrm{2}}+{b}+{c}}\end{cases} \\ $$$${t}=−\mathrm{1}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}={a}+\mathrm{0}\Rightarrow\left({a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},{c}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},{b}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}+\frac{−{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\Rightarrow{I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}}+\frac{−{t}+\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}\right){dt}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}}\right){dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\left(\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}{dt}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\:\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}}{dt}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dt}}{\left(\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left(\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}{tg}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$${I}=\frac{\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left(\mathrm{1}−{t}+{t}^{\mathrm{2}} \right)+\downarrow\right. \\ $$$$\left.+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}{tg}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{3}} \right)\right]+\boldsymbol{{C}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{A}}\left[\mathrm{4}{ln}\left(\mathrm{1}+{Ax}\right)−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}−{Ax}+{A}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \right)+\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}{tg}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{Ax}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}{A}}{ln}\left(\mathrm{1}+{A}^{\mathrm{3}} {x}^{\mathrm{3}} \right)\right]+\boldsymbol{{C}}. \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{4}{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}\right)−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}}}\right)+\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}{tg}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{4}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\frac{\mathrm{4}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{ln}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}{tg}^{−\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)=−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:. \\ $$$${I}={F}\left(\mathrm{1}\right)−{F}\left(\mathrm{0}\right)={F}\left(\mathrm{1}\right)+\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\:. \\ $$$$ \\ $$