Question-145021

Question Number 145021 by mim24 last updated on 01/Jul/21

Answered by phally last updated on 01/Jul/21

Derivative formula (Cos^(−1) (u))^′ =((−u′)/( (√(1−u^2 ))))

$$\:\mathrm{Derivative}\:\mathrm{formula} \\ $$$$\:\left(\mathrm{Cos}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}\right)\right)^{'} =\frac{−\mathrm{u}'}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Jul/21

y(x)=arcosx(((x−x^(−1) )/(x+x^(−1) )))=arcos(((x−(1/x))/(x+(1/x))))=arcos(((x^2 −1)/(x^2 +1))) ⇒ (dy/dx)=−(((((x^2 −1)/(x^2 +1)))^′ )/( (√(1−(((x^2 −1)/(x^2 +1)))^2 )))) but (((x^2 −1)/(x^2 +1)))^′ =(1−(2/(x^2 +1)))^′ =2×((2x)/((x^2 +1)^2 )) ⇒(dy/dx)=−((4x)/((x^2 +1)^2 (√(1−(((x^2 −1)^2 )/((x^2 +1)^2 ))))))=((4x)/((x^2 +1)^2 ((√((x^2 +1)^2 −(x^2 −1)^2 ))/(x^2 +1)))) =((4x)/((x^2 +1)(√(x^4 +2x^2 +1−x^4 +2x^2 −1))))=((4x)/((x^2 +1)(√(4x^2 )))) =((4x)/(2∣x∣(x^2 +1)))⇒(dy/dx) =((2ξ(x))/(x^2 +1)) with ξ(x)=1 if x>0 and ξ(x)=−1 if x<0

$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{arcosx}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{x}+\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }\right)=\mathrm{arcos}\left(\frac{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right)=\mathrm{arcos}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=−\frac{\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)^{'} }{\:\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }}\:\:\mathrm{but}\:\:\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)^{'} \:=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{'} \:=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=−\frac{\mathrm{4x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}−\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}}=\frac{\mathrm{4x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \frac{\sqrt{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{4x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4x}}{\mathrm{2}\mid\mathrm{x}\mid\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\frac{\mathrm{2}\xi\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{with}\:\:\xi\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}>\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\xi\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{1}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 01/Jul/21

$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=−\frac{\mathrm{2}\xi\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$

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