Question Number 145163 by mim24 last updated on 02/Jul/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jul/21
$$\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+…+\infty}}}\:\Rightarrow\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{x}+\mathrm{y}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}−\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=\mathrm{1}+\mathrm{4x}\:\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4x}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{4x}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{y}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}+\mathrm{1}}} \\ $$
Answered by puissant last updated on 02/Jul/21
$$\mathrm{Cherchons}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{…………}}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+……}}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{y}\:\:}\Rightarrow\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2ydy}=\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\:\Rightarrow\:\mathrm{2y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2y}−\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2y}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\:\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+….\infty}}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}+…\infty}}}−\mathrm{1}}.. \\ $$