Question-145282

Question Number 145282 by puissant last updated on 03/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 03/Jul/21

t est le temps en heures. Angle parcouru par la petite aiguille : θ_p (t) = ((2π)/(12))(t−12) = (π/6)(t−12) Angle parcouru par la grande aiguille : θ_g (t) = ((2π)/1)(t−12) = 2π(t−12) Superposition des aiguilles quand les deux angles sont egaux modulo 2π : θ_g (t) = θ_p (t)+2kπ 2π(t−12) = (π/6)(t−12)+2kπ (t−12) = (1/(12))(t−12)+k ((11)/(12))(t−12) = k t = ((12)/(11))k+12 La periode de superposition est donc T = ((12)/(11)) (en heures) (Q2) (1 heure, 5minutes et 27,27 secondes) Pour k = 3 (3eme superposition) : t = ((12)/(11))×3+12 = ((168)/(11)) (en heures)/(Q1) (a 15 heures, 16minutes et 21,82 secondes)

$${t}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{temps}\:\mathrm{en}\:\mathrm{heures}. \\ $$$$\mathrm{Angle}\:\mathrm{parcouru}\:\mathrm{par}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{petite}\:\mathrm{aiguille}\:: \\ $$$$\theta_{{p}} \left({t}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{12}}\left({t}−\mathrm{12}\right)\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{6}}\left({t}−\mathrm{12}\right) \\ $$$$\mathrm{Angle}\:\mathrm{parcouru}\:\mathrm{par}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{grande}\:\mathrm{aiguille}\:: \\ $$$$\theta_{{g}} \left({t}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{1}}\left({t}−\mathrm{12}\right)\:=\:\mathrm{2}\pi\left({t}−\mathrm{12}\right) \\ $$$$\mathrm{Superposition}\:\mathrm{des}\:\mathrm{aiguilles}\:\mathrm{quand} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{angles}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{egaux}\:\mathrm{modulo}\:\mathrm{2}\pi\:: \\ $$$$\theta_{{g}} \left({t}\right)\:=\:\theta_{{p}} \left({t}\right)+\mathrm{2}{k}\pi \\ $$$$\mathrm{2}\pi\left({t}−\mathrm{12}\right)\:=\:\:\frac{\pi}{\mathrm{6}}\left({t}−\mathrm{12}\right)+\mathrm{2}{k}\pi \\ $$$$\left({t}−\mathrm{12}\right)\:=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left({t}−\mathrm{12}\right)+{k} \\ $$$$\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{12}}\left({t}−\mathrm{12}\right)\:=\:\:{k} \\ $$$${t}\:=\:\:\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}}{k}+\mathrm{12} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{periode}\:\mathrm{de}\:\mathrm{superposition}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{T}\:=\:\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}}\:\left(\mathrm{en}\:\mathrm{heures}\right)\:\left(\mathrm{Q2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\:\mathrm{heure},\:\mathrm{5minutes}\:\mathrm{et}\:\mathrm{27},\mathrm{27}\:\mathrm{secondes}\right) \\ $$$$\mathrm{Pour}\:{k}\:=\:\mathrm{3}\:\left(\mathrm{3eme}\:\mathrm{superposition}\right)\:: \\ $$$${t}\:=\:\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{11}}×\mathrm{3}+\mathrm{12}\:=\:\frac{\mathrm{168}}{\mathrm{11}}\:\left(\mathrm{en}\:\mathrm{heures}\right)/\left(\mathrm{Q1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a}\:\mathrm{15}\:\mathrm{heures},\:\mathrm{16minutes}\:\mathrm{et}\:\mathrm{21},\mathrm{82}\:\mathrm{secondes}\right) \\ $$

Commented by puissant last updated on 03/Jul/21

$$\mathrm{merci}\:\mathrm{beaucoup} \\ $$

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