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Question-145373

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Question Number 145373 by puissant last updated on 04/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21
1a) Le rat n′a pas de memoire. A chaque essai, il a 3 chances sur 4 de choisir une mauvaise porte et une chance sur 4 de choisir la bonne porte −au 1er essai, mauvaise porte (probabilite (3/4)) −au 2eme essai, mauvaise porte (probabilite (3/4)) −au 3eme essai, bonne porte (probabilite (1/4)) Les essais sont consecutifs et independants, les probabilites se multiplient : p(X = 3) = (3/4)×(3/4)×(1/4) = (9/(64)) (environ 14%) 1b) Meme raisonnement p(X = 5) = (3/4)×(3/4)×(3/4)×(3/4)×(1/4) p(X = 5) = ((81)/(1024)) (environ 7,9%) Generalisation : le rat sort au k^(ieme) essai. p(X = k) = ((3/4))^(k−1) ×(1/4) = (3^(k−1) /4^k ) 2) Le rat a de memoire −Au 1er essai, il a une chance sur 4 −Au 2eme essai, il a 2 chances sur 3 (il sait qu′une porte est mauvaise) −Au 3eme essai, il a 1 chance sur 2 (il sait que 2 portes sont mauvaises) −Au 4eme essai, il a 1 chance sur 1 (les 3 mauvaises portes ont ete eliminees) La variable X peut donc prendre 4 valeurs 1, 2, 3 et 4. La loi de probabilite de X est : p(X=1) = (1/4) p(X=2) = (3/4)×(2/3) = (1/2) p(X=3) = (3/4)×(1/3)×(1/2) = (1/8) p(X=4) = (3/4)×(1/3)×(1/2)×1 = (1/8) Remarque : on verifie bien que Σp(X=k) = (1/4)+(1/2)+(1/8)+(1/8) = 1 Esperance mathematique : E(X) = Σk×p(X=k) E(X) = (1×(1/4))+(2×(1/2))+(3×(1/8))+(4×(1/8)) E(X) = (1/4)+1+(3/8)+(1/2) E(X) = ((17)/8) E(X) = 2,125 D′un point de vue probabiliste, Le rat a donc des chances de sortir entre le 2eme et 3eme essai. Plutot le 2eme essai. Excellente methode pour tester si un rat a de la memoire !
$$\left.\mathrm{1}{a}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{rat}\:\mathrm{n}'\mathrm{a}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{de}\:\mathrm{memoire}. \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{chaque}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{il}\:\mathrm{a}\:\mathrm{3}\:\mathrm{chances}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{4}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{choisir}\:\mathrm{une}\:\mathrm{mauvaise}\:\mathrm{porte}\:\mathrm{et}\:\mathrm{une}\:\mathrm{chance} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathrm{4}\:\mathrm{de}\:\mathrm{choisir}\:\mathrm{la}\:\mathrm{bonne}\:\mathrm{porte} \\ $$$$−\mathrm{au}\:\mathrm{1er}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{mauvaise}\:\mathrm{porte} \\ $$$$\left(\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$−\mathrm{au}\:\mathrm{2eme}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{mauvaise}\:\mathrm{porte} \\ $$$$\left(\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$−\mathrm{au}\:\mathrm{3eme}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{bonne}\:\mathrm{porte} \\ $$$$\left(\mathrm{probabilite}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{Les}\:\mathrm{essais}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{consecutifs}\:\mathrm{et}\:\mathrm{independants}, \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{probabilites}\:\mathrm{se}\:\mathrm{multiplient}\:: \\ $$$${p}\left({X}\:=\:\mathrm{3}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{64}} \\ $$$$\left(\mathrm{environ}\:\mathrm{14\%}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{1b}\right)\:\mathrm{Meme}\:\mathrm{raisonnement} \\ $$$${p}\left({X}\:=\:\mathrm{5}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${p}\left({X}\:=\:\mathrm{5}\right)\:=\:\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{1024}} \\ $$$$\left(\mathrm{environ}\:\mathrm{7},\mathrm{9\%}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Generalisation}\::\:\mathrm{le}\:\mathrm{rat}\:\mathrm{sort}\:\mathrm{au}\:{k}^{{ieme}} \\ $$$$\mathrm{essai}. \\ $$$${p}\left({X}\:=\:{k}\right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)^{{k}−\mathrm{1}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{3}^{{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{4}^{{k}} } \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{Le}\:\mathrm{rat}\:\mathrm{a}\:\mathrm{de}\:\mathrm{memoire} \\ $$$$−\mathrm{Au}\:\mathrm{1er}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{il}\:\mathrm{a}\:\mathrm{une}\:\mathrm{chance}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{4} \\ $$$$−\mathrm{Au}\:\mathrm{2eme}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{il}\:\mathrm{a}\:\mathrm{2}\:\mathrm{chances}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{il}\:\mathrm{sait}\:\mathrm{qu}'\mathrm{une}\:\mathrm{porte}\:\mathrm{est}\:\mathrm{mauvaise}\right) \\ $$$$−\mathrm{Au}\:\mathrm{3eme}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{il}\:\mathrm{a}\:\mathrm{1}\:\mathrm{chance}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{il}\:\mathrm{sait}\:\mathrm{que}\:\mathrm{2}\:\mathrm{portes}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{mauvaises}\right) \\ $$$$−\mathrm{Au}\:\mathrm{4eme}\:\mathrm{essai},\:\mathrm{il}\:\mathrm{a}\:\mathrm{1}\:\mathrm{chance}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{les}\:\mathrm{3}\:\mathrm{mauvaises}\:\mathrm{portes}\:\mathrm{ont}\:\mathrm{ete}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{eliminees}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{X}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{prendre}\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{valeurs}\:\mathrm{1},\:\mathrm{2},\:\mathrm{3}\:\mathrm{et}\:\mathrm{4}. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{loi}\:\mathrm{de}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{X}\:\mathrm{est}\:: \\ $$$${p}\left({X}=\mathrm{1}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${p}\left({X}=\mathrm{2}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${p}\left({X}=\mathrm{3}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${p}\left({X}=\mathrm{4}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{Remarque}\::\:\mathrm{on}\:\mathrm{verifie}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{que} \\ $$$$\Sigma{p}\left({X}={k}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Esperance}\:\mathrm{mathematique}\:: \\ $$$$\mathrm{E}\left({X}\right)\:=\:\Sigma{k}×{p}\left({X}={k}\right) \\ $$$$\mathrm{E}\left({X}\right)\:=\:\left(\mathrm{1}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\left(\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\mathrm{3}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)+\left(\mathrm{4}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right) \\ $$$$\mathrm{E}\left({X}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{E}\left({X}\right)\:=\:\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{E}\left({X}\right)\:=\:\mathrm{2},\mathrm{125} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{D}'\mathrm{un}\:\mathrm{point}\:\mathrm{de}\:\mathrm{vue}\:\mathrm{probabiliste}, \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{rat}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{des}\:\mathrm{chances}\:\mathrm{de}\:\mathrm{sortir} \\ $$$$\mathrm{entre}\:\mathrm{le}\:\mathrm{2eme}\:\mathrm{et}\:\mathrm{3eme}\:\mathrm{essai}. \\ $$$$\mathrm{Plutot}\:\mathrm{le}\:\mathrm{2eme}\:\mathrm{essai}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Excellente}\:\mathrm{methode}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tester}\:\mathrm{si}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{rat}\:\mathrm{a}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{memoire}\:! \\ $$
Commented by puissant last updated on 04/Jul/21
merci beaucoup..
$$\mathrm{merci}\:\:\mathrm{beaucoup}.. \\ $$

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