Question-145467

Question Number 145467 by puissant last updated on 05/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Jul/21

a) Pour former une partie B de E a k elements, qui contienne un seul elements de A, il faut : −choisir un element de A, ce qui se fait de p facons. −puis choisir k−1 elements restants de B parmi les n−p elements restants de E, ce qui se fait de C_(n−p) ^(k−1) facons. Pour former B, il y a donc pC_(n−p) ^(k−1) facons. b) −B contient un element de A de pC_(n−p) ^(k−1) facons ou encore C_p ^1 C_(n−p) ^(k−1) facons. −B contient 2 elements de A de C_p ^2 C_(n−p) ^(k−2) facons. −B contient 3 elements de A de C_p ^3 C_(n−p) ^(k−3) facons. etc... −B contient k elements de A de C_p ^k C_(n−p) ^0 facons. Pour repondre a la question, il suffit de sommer : Σ_(i=1) ^k C_p ^i C_(n−p) ^(k−i) = Σ_(i=1) ^k ((p!)/(i!(p−i)!))×(((n−p)!)/((k−i)!(n−p−k+i)!)) Σ_(i=1) ^k C_p ^i C_(n−p) ^(k−i) = p!(n−p)!Σ_(i=1) ^k (1/(i!(k−i)!(p−i)!(n−p−k+i)!))

$$\left.{a}\right) \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{former}\:\mathrm{une}\:\mathrm{partie}\:\mathrm{B}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E}\:\mathrm{a}\:{k} \\ $$$$\mathrm{elements},\:\mathrm{qui}\:\mathrm{contienne}\:\mathrm{un}\:\mathrm{seul} \\ $$$$\mathrm{elements}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A},\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:: \\ $$$$−\mathrm{choisir}\:\mathrm{un}\:\mathrm{element}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A},\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{se} \\ $$$$\mathrm{fait}\:\mathrm{de}\:{p}\:\mathrm{facons}. \\ $$$$−\mathrm{puis}\:\mathrm{choisir}\:{k}−\mathrm{1}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{restants} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{B}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{les}\:{n}−{p}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{restants} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{E},\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{se}\:\mathrm{fait}\:\mathrm{de}\:\mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{former}\:\mathrm{B},\:\mathrm{il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:{p}\mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$$\left.{b}\right) \\ $$$$−\mathrm{B}\:\mathrm{contient}\:\mathrm{un}\:\mathrm{element}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A}\:\mathrm{de} \\ $$$$\:{p}\mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{facons}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{encore}\:\mathrm{C}_{{p}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{1}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$$−\mathrm{B}\:\mathrm{contient}\:\mathrm{2}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A}\:\mathrm{de} \\ $$$$\:\mathrm{C}_{{p}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{2}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$$−\mathrm{B}\:\mathrm{contient}\:\mathrm{3}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A}\:\mathrm{de} \\ $$$$\:\mathrm{C}_{{p}} ^{\mathrm{3}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−\mathrm{3}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$${etc}… \\ $$$$−\mathrm{B}\:\mathrm{contient}\:{k}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{de}\:\mathrm{A}\:\mathrm{de} \\ $$$$\:\mathrm{C}_{{p}} ^{{k}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{facons}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{repondre}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{question},\:\mathrm{il}\:\mathrm{suffit} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{sommer}\:: \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{i}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{i}} \:=\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{{p}!}{{i}!\left({p}−{i}\right)!}×\frac{\left({n}−{p}\right)!}{\left({k}−{i}\right)!\left({n}−{p}−{k}+{i}\right)!}\: \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{i}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{i}} \:=\:{p}!\left({n}−{p}\right)!\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}!\left({k}−{i}\right)!\left({p}−{i}\right)!\left({n}−{p}−{k}+{i}\right)!}\: \\ $$

Commented by puissant last updated on 05/Jul/21

$$\mathrm{merci} \\ $$

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