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Question-145724

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Question Number 145724 by Mrsof last updated on 07/Jul/21
Commented by Mrsof last updated on 07/Jul/21
how can i get the result of this equation
$${how}\:{can}\:{i}\:{get}\:{the}\:{result}\:{of}\:{this}\:{equation} \\ $$$$ \\ $$
Answered by phanphuoc last updated on 07/Jul/21
1)f(z)=(e^(iz) /((z^2 +a^2 )(z^2 +b^2 ))),∫f(z)=2πi{Res(f(z),ai)+Res(f(z),bi)}=answar....
$$\left.\mathrm{1}\right){f}\left({z}\right)=\frac{{e}^{{iz}} }{\left({z}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} \right)\left({z}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)},\int{f}\left({z}\right)=\mathrm{2}\pi{i}\left\{{Res}\left({f}\left({z}\right),{ai}\right)+{Res}\left({f}\left({z}\right),{bi}\right)\right\}={answar}…. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
1)I=∫_(−∞) ^(+∞) ((cosx)/((x^2 +a^2 )(x^2 +b^2 )))dx ⇒I=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(ix) /((x^2 +a^2 )(x^2 +b^2 )))dx) consider ϕ(z)=(e^(iz) /((z^2 +a^2 )(z^2 +b^2 )))=(e^(iz) /((z−ia)(z+ia)(z−ib)(z+ib))) ∫_R ϕ(z)dz =2iπ{Res(ϕ,ia)+Res(ϕ,ib)) Res(ϕ,ia)=(e^(i(ia)) /(2ia(b^2 −a^2 )))=(e^(−a) /(2ia(b^2 −a^2 ))) Res(ϕ,ib)=(e^(i(ib)) /(2ib(a^2 −b^2 ))) =(e^(−b) /(2ib(a^2 −b^2 ))) ∫_R ϕ(z)dz=2iπ{(e^(−a) /(2ia(b^2 −a^2 )))+(e^(−b) /(2ib(a^2 −b^2 )))} =(π/(a^2 −b^2 )){(e^(−b) /b)−(e^(−a) /a)} ⇒I =(π/(a^2 −b^2 )){(e^(−b) /b)−(e^(−a) /a)}
$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{I}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{consider}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{ia}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{ib}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{ib}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ia}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ib}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ia}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{ia}\right)} }{\mathrm{2ia}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{2ia}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ib}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{ib}\right)} }{\mathrm{2ib}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{b}} }{\mathrm{2ib}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{2ia}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{b}} }{\mathrm{2ib}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{b}} }{\mathrm{b}}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{a}}\right\}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{b}} }{\mathrm{b}}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{a}}\right\} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
2)J=∫_0 ^∞ ((cos(ax))/(x^2 +1))dx ⇒2J=∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(ax))/(x^2 +1))dx=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iax) /(x^2 +1))dx) and ∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iax) /(x^2 +1))dx =2iπRes(ϕ,i) with ϕ(z)=(e^(iaz) /(z^2 +1))=(e^(iaz) /((z−i)(z+i))) Res(ϕ,i)=(e^(iai) /(2i))=(e^(−a) /(2i)) ⇒∫_R ϕ(z)dz=2iπ(e^(−a) /(2i))=πe^(−a) ⇒ J=(π/2)e^(−a)
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{J}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2J}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iax}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iax}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:\:\mathrm{with}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iaz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iaz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iai}} }{\mathrm{2i}}=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{2i}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} }{\mathrm{2i}}=\pi\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
3)Υ(b)=∫_0 ^∞ ((cos(ax))/(x^2 +b^2 ))dx ⇒Υ^′ (b)=−2b∫_0 ^∞ ((cos(ax))/((x^2 +b^2 )^2 ))dx ⇒ ∫_0 ^∞ ((cos(ax))/((x^2 +b^2 )^2 ))=−(1/(2b))Υ^′ (b) we have 2Υ(b)=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iax) /(x^2 +b^2 ))dx) ∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iax) /(x^2 +b^2 ))dx=2iπRes(ϕ,ib)=2iπ×(e^(ia(ib)) /(2ib))=(π/b)e^(−ab) ⇒ Υ(b)=(π/(2b))e^(−ab) ⇒Υ^′ (b)=(π/2){−(1/b^2 )e^(−ab) −(a/b)e^(−ab) } =−(π/(2b^2 ))(1+ab)e^(−ab) ⇒ ∫_0 ^∞ ((cos(ax))/((x^2 +b^2 )^2 ))=(−(1/(2b)))(−(π/(2b^2 )))(1+ab)e^(−ab) =(π/(4b^3 ))(1+ab)e^(−ab)
$$\left.\mathrm{3}\right)\Upsilon\left(\mathrm{b}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Upsilon^{'} \left(\mathrm{b}\right)=−\mathrm{2b}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}}\Upsilon^{'} \left(\mathrm{b}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{2}\Upsilon\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iax}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iax}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ib}\right)=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ia}\left(\mathrm{ib}\right)} }{\mathrm{2ib}}=\frac{\pi}{\mathrm{b}}\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon\left(\mathrm{b}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2b}}\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \:\Rightarrow\Upsilon^{'} \left(\mathrm{b}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} −\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \right\} \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{ab}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{ax}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }=\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}}\right)\left(−\frac{\pi}{\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{ab}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4b}^{\mathrm{3}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{ab}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ab}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
4)Ψ=∫_0 ^∞ ((xsin(2x))/(x^2 +3))dx ⇒2Ψ=∫_(−∞) ^(+∞) ((xsin(2x))/(x^2 +3))dx =Im(∫_(−∞) ^(+∞ ) ((xe^(2ix) )/(x^2 +3))dx) let Λ(z)=((ze^(2iz) )/(z^2 +3)) ⇒Λ(z)=((ze^(2iz) )/((z−i(√3))(z+i(√3)))) ∫_R Λ(z)dz=2iπRes(Λ,i(√3))=2iπ×((i(√3)e^(2i(i(√3))) )/(2i(√3)))=iπe^(−2(√3)) Ψ=(π/2)e^(−2(√3))
$$\left.\mathrm{4}\right)\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2}\Psi=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty\:} \:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{2ix}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{let}\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{2iz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}}\:\Rightarrow\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{ze}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{2i}\left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} }{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}=\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Psi=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

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