Question-145756

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Question Number 145756 by puissant last updated on 07/Jul/21

Answered by phanphuoc last updated on 07/Jul/21

$${u}_{{n}} ={ln}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$

Commented by puissant last updated on 07/Jul/21

$$\mathrm{How}? \\ $$

Commented by puissant last updated on 07/Jul/21

$$\mathrm{comment}? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/21

let S_n =Σ_(k=2) ^n (((−1)^k )/(k−1))=1−(1/2)+(1/3)−....+(((−1)^n )/(n−1)) ⇒ S_n =_(k−1=p) Σ_(p=1) ^(n−1) (((−1)^(p+1) )/p) =−Σ_(p=1) ^(n−1) (((−1)^p )/p) let f(x)=Σ_(p=1) ^(n−1) (((−1)^p )/p)x^p ⇒f^′ (x)=Σ_(p=1) ^(n−1) (−1)^p x^(p−1) =−Σ_(p=1) ^(n−1) (−x)^(p−1) =−Σ_(k=0) ^(n−2) (−x)^k =−((1−(−x)^(n−1) )/(1+x)) =−(1/(1+x))+(((−x)^(n−1) )/(1+x)) ⇒f(x)=−log∣1+x∣+∫ (((−x)^(n−1) )/(1+x))dx→−log∣1+x∣ if ∣x∣<1 ⇒lim_(n→+∞) S_n =−lim_(x→1) f(x)=log2

$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{1}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−….+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =_{\mathrm{k}−\mathrm{1}=\mathrm{p}} \sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} }{\mathrm{p}}\:=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}}\mathrm{x}^{\mathrm{p}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} \:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{k}} \:=−\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\frac{\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{log}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid+\int\:\frac{\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\rightarrow−\mathrm{log}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid \\ $$$$\mathrm{if}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log2} \\ $$

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