Question Number 145756 by puissant last updated on 07/Jul/21
Answered by phanphuoc last updated on 07/Jul/21
$${u}_{{n}} ={ln}\left({n}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by puissant last updated on 07/Jul/21
$$\mathrm{How}? \\ $$
Commented by puissant last updated on 07/Jul/21
$$\mathrm{comment}? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{1}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−….+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =_{\mathrm{k}−\mathrm{1}=\mathrm{p}} \sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}+\mathrm{1}} }{\mathrm{p}}\:=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}}\mathrm{x}^{\mathrm{p}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{1}} \:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{k}} \:=−\frac{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\frac{\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{log}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid+\int\:\frac{\left(−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\rightarrow−\mathrm{log}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid \\ $$$$\mathrm{if}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log2} \\ $$