Question Number 145829 by bramlexs22 last updated on 08/Jul/21
Answered by EDWIN88 last updated on 08/Jul/21
$$\left(\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}}\:\neq\:\mathrm{1}\:;\:{x}\neq\:−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:{and}\:{x}\:>−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}{x}\right)>\mathrm{0}\Rightarrow{x}\left({x}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}<\mathrm{0}\:\cup\:{x}>\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{let}\:\mathrm{log}\:_{\sqrt{{x}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}{x}\right)={t} \\ $$$$\Rightarrow{t}+\frac{\mathrm{4}}{{t}}\:\leqslant\:\mathrm{4}\:;\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{t}+\mathrm{4}}{{t}}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\left({t}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{{t}}\:\leqslant\:\mathrm{0}\:{we}\:{get}\:{t}\:<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{log}\:_{\sqrt{{x}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}{x}\right)<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}<\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}−\mathrm{3}\:<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}<{x}<\mathrm{3} \\ $$$${solution}\:{set}\:{we}\:{get}\:{from}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\cap\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}<{x}<\mathrm{3}\:\cup−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}<\:{x}<\mathrm{0}\: \\ $$