Question Number 145960 by puissant last updated on 10/Jul/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{R}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2n}} \mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{R}_{\mathrm{n}} =_{\mathrm{p}−\mathrm{n}=\mathrm{k}} \:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\mathrm{sinx}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+…\:\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\leqslant\mathrm{sinx}\leqslant\mathrm{x}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{3}} }\leqslant\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{3}} }\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{n}}}\rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\mathrm{log2} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{n}+\mathrm{k}\geqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{3}} }\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{3}} }\leqslant\frac{\mathrm{n}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\rightarrow\mathrm{0}\:\left(\mathrm{n}\rightarrow\infty\right)\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{R}_{\mathrm{n}} =\mathrm{log2} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by puissant last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{okey}\:\:\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jul/21
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\alpha} }\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =_{\mathrm{p}−\mathrm{n}=\mathrm{k}} \:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\alpha} } \\ $$$$\mathrm{n}+\mathrm{k}>\mathrm{n}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)^{\alpha} }<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\alpha} }\:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} <\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}^{\alpha} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\alpha−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{but}\:\alpha−\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\alpha−\mathrm{1}} }=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\ $$