Question Number 146328 by puissant last updated on 12/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21
$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{E}\::\:“{aucun} \\ $$$${anniversaire}\:{le}\:{meme}\:{jour}''\:\mathrm{prenons} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son} \\ $$$$\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}. \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{deuxieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{364}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}\right). \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{troisieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{363}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{premieres} \\ $$$$\left.\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$…\mathrm{etc}… \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{la}\:{n}^{{ieme}} \:\:\mathrm{et}\:\mathrm{derniere} \\ $$$$\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre} \\ $$$$\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\right. \\ $$$$\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{premieres}\:\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{probables}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{364}×\mathrm{363}×…×\left(\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\frac{\mathrm{365}!}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{possibles}\:\mathrm{est}\:\mathrm{trivial}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{365}×\mathrm{365}×…×\mathrm{365}\:=\:\mathrm{365}^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)\:=\:\frac{\mathrm{365}}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!×\mathrm{365}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{Avec}\:\mathrm{la}\:\mathrm{calculatrice},\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{probabilite}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{en}−\mathrm{dessous}\:\mathrm{de}\:\mathrm{50\%} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:{n}\:=\:\mathrm{23}. \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)_{{n}=\mathrm{23}} \:\approx\:\mathrm{49},\mathrm{27\%}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Conclusion}\::\:\mathrm{sur}\:\mathrm{une}\:\mathrm{classe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{eleves}\:\mathrm{par}\:\mathrm{exemple},\:\mathrm{il}\:\mathrm{est}\:\mathrm{tres}\:\mathrm{probable} \\ $$$$\left(>\mathrm{50\%}\right)\:\mathrm{que}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{eleves}\:\mathrm{soient}\:\mathrm{nes} \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 13/Jul/21
$$\mathrm{merci} \\ $$