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Question-146328




Question Number 146328 by puissant last updated on 12/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21
Pour realiser l′evenement E : “aucun  anniversaire le meme jour” prenons  une premiere personne. Son  anniversaire peut etre choisi parmi 365.  Puis prenons une deuxieme personne.  Son anniversaire peut etre choisi  parmi 364 (il ne peut pas tomber le  meme jour que la premiere personne).  Puis prenons une troisieme personne.  Son anniversaire peut etre choisi  parmi 363 (il ne peut pas tomber le  meme jour que les deux premieres  personnes).  ...etc...  Puis prenons la n^(ieme)   et derniere  personne. Son anniversaire peut etre  choisi parmi 365−(n−1) (il ne peut pas  tomber le meme jour que les n−1  premieres personnes).    Le nombre de cas probables est donc :  365×364×363×...×(365−(n−1))  soit ((365!)/((365−n)!))    Le nombre de cas possibles est trivial :  365×365×365×...×365 = 365^n     La probabilite de E est donc :  p(E) = ((365)/((365−n)!×365^n ))  Avec la calculatrice, on voit la  probabilite tomber en−dessous de 50%  a partir de n = 23.  p(E)_(n=23)  ≈ 49,27%.    Conclusion : sur une classe de 25  eleves par exemple, il est tres probable  (>50%) que deux eleves soient nes  le meme jour.
$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{E}\::\:“{aucun} \\ $$$${anniversaire}\:{le}\:{meme}\:{jour}''\:\mathrm{prenons} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son} \\ $$$$\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}. \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{deuxieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{364}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}\right). \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{troisieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{363}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{premieres} \\ $$$$\left.\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$…\mathrm{etc}… \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{la}\:{n}^{{ieme}} \:\:\mathrm{et}\:\mathrm{derniere} \\ $$$$\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre} \\ $$$$\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\right. \\ $$$$\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{premieres}\:\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{probables}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{364}×\mathrm{363}×…×\left(\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\frac{\mathrm{365}!}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{possibles}\:\mathrm{est}\:\mathrm{trivial}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{365}×\mathrm{365}×…×\mathrm{365}\:=\:\mathrm{365}^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)\:=\:\frac{\mathrm{365}}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!×\mathrm{365}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{Avec}\:\mathrm{la}\:\mathrm{calculatrice},\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{probabilite}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{en}−\mathrm{dessous}\:\mathrm{de}\:\mathrm{50\%} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:{n}\:=\:\mathrm{23}. \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)_{{n}=\mathrm{23}} \:\approx\:\mathrm{49},\mathrm{27\%}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Conclusion}\::\:\mathrm{sur}\:\mathrm{une}\:\mathrm{classe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{eleves}\:\mathrm{par}\:\mathrm{exemple},\:\mathrm{il}\:\mathrm{est}\:\mathrm{tres}\:\mathrm{probable} \\ $$$$\left(>\mathrm{50\%}\right)\:\mathrm{que}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{eleves}\:\mathrm{soient}\:\mathrm{nes} \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 13/Jul/21
merci
$$\mathrm{merci} \\ $$

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